人教版八年级数学下册专题3二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）.docxVIP

专题3二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）

第一部分典例精析+变式训练

类型一分母有理化

技巧1一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋?曲阳县期末）把3a

A．4b B．2b C．12b

变式训练

1．（2022春?东莞市期中）化简：18=

2．（2021春?龙山县期末）把122a化成最简二次根式，结果是

技巧2平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母

典例2（2022春?乳山市期末）【材料阅读】

把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．

例如：化简12

解：12

上述化简的过程，就是进行分母有理化．

【问题解决】

（1）化简12-3的结果为：

（2）猜想：若n是正整数，则1n+1+n

（3）若有理数a，b满足a2-1+b

变式训练

1．（2022秋?宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：12+5

2．（2022秋?牡丹区期末）若13-7的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+7）ab＝

技巧3分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简

典例3化简：

变式训练：

1.化简：

技巧4分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。

典例4（2022秋?浦东新区校级月考）先化简，再求值x-yx+y+x-

针对训练：化简：

（1）（2）

技巧5裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。

24．观察下面式子的化简过程：

26

化简410

变式训练：

1．化简：

类型二分子有理化

典例6（2020秋?梁平区期末）阅读下述材料：

我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：

与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7-

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：

比较7-6和6-5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：

因为7+6＞

再例如：求y=x

解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x

当x＝2时，分母x+2+x-2有最小值2

解决下述问题：

（1）比较32-4和23

（2）求y=1+

针对训练

1．（青羊区校级期中）已知a=2-1，b＝3﹣22，c=3-2，则a

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b

2．（2020秋?武侯区校级月考）计算：

（1）比较15-14和

（2）求y=x+1

专题提优训练

1．（2022秋?绥化期末）化简213的结果是

2．（2021秋?阳城县期末）化简820的结果是

3．（2021秋?徐汇区校级期中）化简：1x-3

4．（2021春?宁阳县期末）化简12=，1

5．（2012秋?珙县校级月考）化简：12-3

6．（2021春?江城区期末）化简-3227

7．（2022秋?宝山区校级期中）已知：x=3+23-2，y=3-2

8．（2022春?普陀区校级期末）计算：105

9．（2021秋?浦东新区校级月考）计算：1-3

10．（2021秋?赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．

如：2+12-

除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．

如：化简2+3

解：设x=2+3-2-3，易知2+

由于x2＝（2+3-2-3）2＝2+3+

解得x=2，即

根据以上方法，化简：3-22

11．（2022春?大连月考）阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2-3）＝1，（5+2）（5-2）＝3

解决问题：

（1）4+7的有理化因式可以是，232

（2）计算：

①11+

②已知：x=3-13+1，y=3+1

12．（2022春?钢城区期末）阅读下列解题过程：

12+1

13

请回答下列问题：

（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．

①17+6=；

（2）应用：求12

（3）拓广：13-1-

13．（2021春?广饶县期中）【阅读材料】

材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．

例如：化简1

解：1

材料二：化简a+2b的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么a±2b

例如：化简3±2

解：3±22

【理解应用】

（1）填空：化简5+35-

（2）计算：

①7-210

②