人教版八年级数学下册专题5二次根式最热考点——阅读材料题（解析版）.docxVIP

专题5二次根式最热考点——阅读材料题（解析版）

典例精析+变式训练

类型一分母有理化

典例1（2022秋?万柏林区校级月考）阅读材料：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．

例如：3×3=3，（6-2）（6+2）＝6﹣2＝4，我们称3

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如13=1×33×3=3

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

（1）13的有理化因式为13，7+5的有理化因式为7

（2）将下列各式分母有理化：①315；②11

思路引领：（1）根据互为有理化因式的定义得出答案即可；

（2）①先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；

②先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．

解：（1）13的有理化因式为13，7+5的有理化因式为

故答案为：13，7-

（2）①3

=3×

=3

=15

②11

=11×(2

=11×(2

＝25+3

总结提升：本题考查了平方差公式，分母有理化和二次根式的混合运算，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．

变式训练

1．（2022秋?修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：

两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：a与a，2+1与2

（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：．

化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：23

（2）请仿照上述方法化简：35

（3）比较13-1与

思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；

（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；

（3）分母有理化后再比较．

解：（1）5+2与5-

故答案为：5+2与5-

（2）3

=3(

=5

（3）13-1

∵3+1

∴13

总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．

类型二二重根式的化简

典例2（2022秋?郸城县期中）请阅读下列材料：

形如m±2n的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即(a)2+(b

例如：化简7+43

解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝

由于4+3＝7，4×3＝12，即(4

所以7+43

请根据材料解答下列问题：

（1）填空：5-26=

（2）化简：21-123

思路引领：（1）利用完全平方公式化简得出答案；

（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．

解：（1）5-26

故答案为：3-

（2）首先把21-123化为21-2108，这里m＝21，n＝

∵9+12＝21，9×12＝108，即(9

∴21-123

总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

变式训练

1．（2022秋?沙县期中）阅读材料：我们已经知道，形如ca

例如：32-

问题提出：7+43

建立模型：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样(a)

那么便有：m±2n=(a

问题解决：化简：7+43

解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4

∴7+43

模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：

（1）6+25

（2）13-410

模型应用2：

（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4-3，AC=3，那么

思路引领：（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；

（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；

（3）根据勾股定理求出即可．

解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，

即12+（5）2＝6，1×5

所以：6+2

=1

=(1+

＝1+5

（2）首先把13-410化为13-240，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝

即（5）2+（8）2＝13，5×

所以13-4

=13-2

=(

=(

=8

＝22-

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，

所以，(

所以，BC=

总结提升：本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

类型三整体思想运算

典例3（2022秋?皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1