人教版八年级数学下册专题7复合二次根式的化简（原卷版）.docxVIP

专题07复合二次根式的化简

【例题讲解】

阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：．

例：化简．

解：首先把化为，这里，由于

即．．

请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：

(1)填空：___________，___________；

(2)化简：写出计算过程

(3)化简：为正整数

【详解】（1）这里，，即：，

这里，，即：，

故答案为：；

（2）这里，

，即：，

（3）

．．．．．．，

原式．．．

【综合解答】

1．观察下列各式及其化简过程：

，

．

(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简；

(2)化简；

(3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系．

2．先阅读材料，然后回答问题

(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，

①

②

③

④

在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________

(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒

3．问题探究：因为，所以

因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：

(1)；

(2)

4．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．

如：在实数范围内化简．

解：设（，为非负有理数），则．

∴

由①得，，代入②得：，解得，

∴，

∴

请根据以上阅读理解，解决下列问题：

(1)请直接写出的化简结果是__________；

(2)化简；

(3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．

5．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：

＝＝＝＝．

再如：

请用上述方法探索并解决下列问题：

(1)化简：；

(2)化简：；

(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．

6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简．

例如：化简：

∵

∴

仿照上例化简下列各式：

(1)

(2)

7．先阅读下列解答过程：

形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有．

例如：化简．

解：首先把化为，这里，，

由于，，即，，

所以．

请根据材料解答下列问题：

(1)填空：______；

(2)化简：（请写出计算过程）；

(3)化简：．

8．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且，则将将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得化简．

例如，，

∴．

请仿照上例解下列问题：

(1)；

(2).

9．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使记，并且，则将，变成开方，从而使得化简．

例如：化简．

因为

所以

仿照上例化简下列各式：

（1）；

（2）．

10．若要化简我们可以如下做：

∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2，

∴；

仿照上例化简下列各式：

(1)；(2).

11．阅读下面材料，回答问题：

(1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；

小张的化简如下：；

小李的化简如下：；

请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．

(2)请你利用上面所学的方法化简．

12．阅读下面的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．

例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2

∴==+

请你仿照上例将下列各式化简

（1），（2）．

13．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝(m±n)2开方，从而使得化简．

例如：化简

解：∵3+2＝1+2+2＝12+()2+2×1×＝(1+)2

∴；

请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1)；(2).

14．有这样一类题目：将化简，如果能找到两个数m、n，使且，则可将变成，即变成开方，从而使得化简.

例如：5+2=3+2+2

=

=

请仿照上例化简下列各式：

(1)

(2)

15．先阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋

解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________

②根据上述思路，试将下列各式化简：

(1)；????(2).