人教版八年级数学下册专题9勾股定理中的最值问题突破技巧（原卷版）.docxVIP

专题9勾股定理中的最值问题突破技巧（原卷版）

类型一求一条线段的最小值

技巧1利用垂线段最短求最值

典例1（2022?路北区）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）

A．5 B．6 C．4 D．4.8

变式训练

1．（2022?安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）

A．332 B．532 C．33

技巧2转化为其他线段，再根据垂线段最短

典例2（2022?苍溪县模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（）

A．245 B．485 C．125

变式训练

1．（2022春?思明区校级月考）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3．

（1）求BC的长．

如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF，求EF的最小值．

技巧3利用二次函数的性质或配方法求最小值（数形结合）．

典例3（2021秋?昌江区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点P为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且P到三角形三边的距离和为7，则CP的最小值为．

变式训练

1．（2022春?仓山区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，a﹣1），点B（b+3，b），连接AB，则AB的最小值是（）

A．1 B．2 C．2 D．3

技巧4一点与直角顶点相连时，再取斜边中点，三点共线时求的最小值（一箭穿心法）

典例4（2021秋?宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（）

A．2 B．2 C．22-1

变式训练

1．（2021秋?西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝213，BC＝4，则BD长的最小值为．

技巧5用定长减去最大值求最小值

典例5（2022秋?乳山市期中）如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为xcm，则x的最小值是（）

A．5 B．7 C．12 D．13

变式训练

1．（2022春?绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）

A．（10﹣52）cm B．3cm C．（10﹣42）cm D．5cm

类型二求两条线段和的最小值

技巧1将军饮马模型用轴对称法求最值

典例6（2022春?龙华区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于12AC的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线段PC+PD

A．6 B．8 C．10 D．12

变式训练

1．（2022春?开福区校级月考）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处

（1）求CE的长；

（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

技巧2构造全等，利用三角形两边之和大于第三边，在三点共线时，求出最小值

典例7（2022春?上虞区期末）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连结AQ，CP，则AQ+CP的最小值为（）

A．35 B．34 C．33 D

变式训练

1．（2022秋?武汉月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB=42，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为

技巧3两个动点的时候，轴对称法与垂线段最短结合求最值

典例8（2021秋?广阳区校级期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BH平分∠ABC，点P，D分别是BH和AB上的任意一点，设PA+PD＝m．

（1）连接CD交BH于点E，则mCD（填表示相等或大小关系的符号）；

（2）若BA＝BC＝5，AC＝6，BH＝4，则m的最小值是．

类型三立体图形上求最短路径

技巧1化曲为直法求最小值

典例9（