专题1.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版).pdf

专题1.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版).pdf

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专题1.3线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】

【北师大版】

【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】1

【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】6

【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】10

【题型4线段垂直平分线的性质的综合运用】13

【题型5线段垂直平分线的判定】17

【题型6线段垂直平分线的作法】20

【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】23

【知识点1线段垂直平分线的性质】

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这

条线段的垂直平分线上.

【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】

【例1】(2022秋•南召县期末)已知:如图,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P,PE⊥AB,

PF⊥AC,垂足分别为E、F.若AB=8,AC=4,则AE=6.

【分析】首先连接PB,PC,由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P,PE⊥AB,PF⊥AC,易

得PE=PF,PB=PC,继而证得△PBE≌△PCF,AE=AF,又由AB=8,AC=4,即可求得答案.

【解答】解:连接PB,PC,

∵点P在BC的垂直平分线上,

∴PB=PC,

∵AC平分∠BAC,PE⊥AB,PF⊥AC,

∴PE=PF,∠PEB=∠PFC=90°,

∴∠APE=∠APF,

∴AE=AF,

在Rt△PBE和Rt△PCF中,

=

=,

∴Rt△PBE≌Rt△PCF(HL),

∴BE=CF,

∵AB=AE+BE,AF=AC+CF,

∴AB=AC+CF+BE,

∵AB=8,AC=4,

∴BE=CF=2,

∴AE=AC+CF=6.

故答案为:6.

【变式1-1】(2022秋•潮安区期中)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,AC的垂直平分

线BE与CD交于点F,与AC交于点E.

(1)判断△DBC的形状并证明你的结论.

(2)求证:BF=AC.

1

(3)试说明CE=BF.

2

【分析】(1)根据已知条件得到∠BCD=45°,求得BD=CD,于是得到结论;

(2)根据全等三角形的性质和判定即可得到结论;

(3)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论.

【解答】解:(1)△DBC是等腰直角三角形,

理由:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,

∴∠BCD=45°,

∴BD=CD,

∴△DBC是等腰直角三角形;

(2)∵BE⊥AC,

∴∠BDC=∠BEC=90°,

∵∠BFD=∠CFE,

∴∠DBF=∠ACD,

在△BDF与△CDA中,

∠=∠=90°

∠=∠,

=

∴△BDF≌△CDA,

∴BF=AC;

(3)∵BE是AC的垂直平分线,

1

∴CE=AC,

2

1

∴CE=BF.

2

【变式1-2】(2022秋•庐阳区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22.5°,斜边AB的垂直

平分线交AC于点D,点F在AC上,点E在BC的延长线上,CE=CF,连接BF,DE.线段DE和BF

在数量和位置上有什么关系?并说明理由.

【分析】连接BD,延长BF交DE于点G,根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD,求出∠CBD=

45°,证明△ECD≌△FCB,根据全等三角形的性质解答即可.

【解答】解:DE=BF,DE⊥BF.理

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