典型的代数系统课件.pptVIP

14.3几个典型的代数系统?14.3.1半群与独异点?14.3.2群?14.3.3环与域?14.3.4格与布尔代数1

14.3几个典型的代数系统?14.3.1半群与独异点?14.3.2群?14.3.3环与域?14.3.4格与布尔代数2

半群与独异点?半群与独异点的定义与实例?半群与独异点的幂运算?半群与独异点的子代数和积代数?半群与独异点的同态3

半群与独异点的定义定义14.12(1)设V=S,°是代数系统，°为二元运算，如果°运算是可结合的，则称V为半群.(2)设V=S,°是半群，若e∈S是关于?运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=S,°,e.4

实例例1(1)Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+是,+外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数,M(R),+和M(R),·半群，+是普通加法,其中除Z+nn都是半群和独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)P(B),?，其中?为集合的对称差运算.为半群，也是独异点.(4)Z,?,其中Z={0,1,…,n?1}，?为模n加法.nn为半群，也是独异点.(5)A,°其中°为函数的复合运算.A为半群，也是独异点.(6)R*,°其中R*为非零实数集合，°运算定义如下：?x,y∈R*,x°y=y.为半群.5

半群与独异点的幂运算定义(1)在半群S,°中，?x∈S，规定：x1=x，xn+1=xn°x,n∈Z(2)在独异点S,°,e中，?x∈S，°x，n∈N+x0n=e，xn+1=x用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：x°x=x，nmn+m(xn)m=xnm，在半群中m,n∈Z+，在独异点中m,n?N，6

半群与独异点的子代数定义半群与独异点的子代数分别称为子半群与子独异点.判定方法：设V=S,°是半群，T?S，T非空，如果T对V中的运算°封闭，则T,°是V的子半群.设V=S,°,e是独异点，T?S，T非空，如果T对V中的运算°封闭，而且e∈T，那么T,°,e构成V的子独异点.7

实例例：设半群V=S,·，独异点V=S,·,e.其中·为矩阵12乘法，e为2阶单位矩阵,且，则T?S，且T是V=S,·的子半群，但不是子独异点。1理由:是T的单位元，T本身可以构成独异点，但不是V的子独异点，因为V的单位元是e.228

半群与独异点的同态定义14.13(1)设V=S,°，V=S,?是半群，f:S→S.若对任112212意的x,y∈S有1f(x°y)=f(x)?f(y)则称f为半群V到V的同态映射，简称同态.12(2)设V=S,°,e，V=S,?,e是独异点，f:S→S对任意的x,y∈S有1f(x°y)=f(x)?f(y)且f(e)=e,则称f为独异点V到V的同态映射，简称同态.12129

实例设半群V=S,·，独异点V=S,·,e.其中·为矩阵乘法，12e为2阶单位矩阵,且令则f是半群V=S,·的自同态，但不是独异点V=S,·,e12的自同态，因为f(e)?e.10

14.3几个典型的代数系统?14.3.1半群与独异点?14.3.2群?14.3.3环与域?14.3.4格与布尔代数11

群?群的定义与实例?群中的术语?群的性质?子群的定义及判别?群的同态与同构?循环群?置换群12

群?群的定义与实例?群中的术语?群的性质?子群的定义及判别?群的同态与同构?循环群?置换群13

群的定义与实例定义14.14设G,°是代数系统，°为二元运算.如果°运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x?1∈G，则称G为群.实例(1)Z,+,Q,+,R,+都是群；Z+,+和N,+不是群.(2)M(R),+是群，而M(R),·不是群.nn(3)P(B),?是群，?为对称差运算.(4)Z,?，也是群.Z={0,1,…,n?1}，?为模n加.nn14

Klein四元群设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群运算表特征：eabc对称性---运算可交换eeabc主对角线元素都是幺元aaecb---每个元素是自己的逆元bbceaa,b,c中任两个元素运算ccbae都等于第三个元素.15

群?群的定义与实例?群中的术语?群的性质?子群的定义及判别?群的同态与同构?循环