人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—5 不等式选讲 第2节 不等式的证明.ppt

第2节不等式的证明选修4—5

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考点证明不等式(多考向探究)考向1比较法证明不等式例1选用恰当的证明方法,证明下列不等式.(2)已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:a5+b5a2b3+a3b2.

(2)证明:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以a+b0,a2+ab+b20,又因为a≠b,所以(a-b)20.所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)0,即a5+b5a2b3+a3b2.

规律方法比较法证明不等式的步骤

对点训练1已知f(x)=|x-1|+|x+1|,不等式f(x)4的解集为M.(1)求集合M;(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b||4+ab|.解得-2x-1或-1≤x≤1或1x2,所以集合M为(-2,2).(2)证明:当a,b∈M时,即-2a2,-2b2,∵4(a+b)2-(4+ab)2=4a2+4b2-16-a2b2=(a2-4)(4-b2)0,∴4(a+b)2(4+ab)2,∴2|a+b||4+ab|.

考向2综合法证明不等式

规律方法综合法证明不等式的常用技巧:在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.

对点训练2(2022河南开封一模)已知正数a,b,c满足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4.(1)求证:0abc≤1;

考向3分析法证明不等式例3设函数f(x)=|x-a|.(1)若关于x的不等式f(x)+f(2-x)3恒成立,求实数a的取值范围;(2)若0a1,|b|1,求证:f(a2b)f(b).

(1)解:由绝对值三角不等式得f(x)+f(2-x)=|x-a|+|2-x-a|≥|x-a+2-x-a|=|2-2a|,当且仅当(x-a)(2-x-a)≥0时,等号成立.若关于x的不等式f(x)+f(2-x)3恒成立,则|2a-2|3,即2a-23或2a-2-3,(2)证明:要证f(a2b)f(b),即证|a2b-a|a|a-b|,即证|ab-1||a-b|.又因为0a1,|b|1,所以a21,b21,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=a2b2-a2+1-b2=a2(b2-1)-(b2-1)=(a2-1)(b2-1)0,所以|ab-1||a-b|,故所证不等式成立.

规律方法用分析法证明不等式时应注意:(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.

对点训练3已知a+b+c=1,证明:因为a+b+c=1,所以(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2=a2+b2+c2+4(a+b+c)+12=a2+b2+c2+16,因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2.

(1)解:由a=1,b=,可得f(x)=|x+4|,则f(x)2即|x+4|2,所以x+42或x+4-2,解得x-2或x-6,故不等式f(x)2的解集为{x|x-2或x-6}.考向4利用绝对值三角不等式证明不等式(1)若a=1,b=,求不等式f(x)2的解集﹔(2)求证:f(x)+|x-a2|≥4.

规律方法利用绝对值三角不等式证明不等式时,一般需要利用绝对值的意义,对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式做正负号的调整,使之对消变量,得到常数.

考向5利用放缩法证明不等式例5已知f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|的最小值是c.(其中a,b都是0到1之间的正数)(1)求a+b+c的值;(2)证明:a2+2ab+4bc+2ac≤4.

(1)解:f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|≥|x-a+1-(x+b-1)|=|a+b-2|,当且仅当(x-a+1)(x+b-1)≤0时,等号成立,因为a,b∈(0,1),所以f(x)≥2-a-b,所以c=2-a-b,即a+b+c=2.(2)证明:因为a+b+c=2,所以(a+b+c)2=4,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4,因为b2+c2≥2bc,所以a2+b2+c2+2ab+2bc+