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北京卷压轴题-数论汇编(4)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．（2024下·河北·高三校联考开学考试）已知椭圆的右焦点为F，A为椭圆上一点，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点（点B、D不重合）．

(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；

(2)点为直线上一点，记的斜率分别为，若，求点的坐标．

2．（2024下·江苏泰州·高三统考阶段练习）已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．

(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；

(2)证明：的外接圆过定点；

(3)求面积的最小值．

3．（2024·安徽合肥·统考一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.

(1)求证：；

(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.

4．（2024下·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．

(1)求椭圆的方程．

(2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．

5．（2024·广东湛江·统考一模）已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为．

(1)求双曲线的方程；

(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．

6．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，M为抛物线上一点，且在第一象限内.过作抛物线的两条切线，，A，B是切点；射线交抛物线于.

(1)求直线的方程（用M点横坐标表示）；

(2)求四边形面积的最小值.

7．（2024上·广东·高三统考期末）已知双曲线：（，）的左焦点到其渐近线的距离为，点在上.

(1)求的标准方程；

(2)若直线与交于，（不与点重合）两点，记直线，，的斜率分别为，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直线的方程；若不存在，请说明理由.

8．（2023上·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若经过的直线与椭圆交于A，C，经过的直线与椭圆交于B，D，与交于点P（点P在椭圆内），求证：．

9．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）设抛物线的焦点为上点满足.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知正方形有三个顶点在抛物线上，求该正方形面积的最小值.

10．（2011上·宁夏银川·高三统考期末）（本小题满分l2分）

设椭圆的焦点分别为，直线交轴于点，且．

（Ⅰ）试求椭圆的方程；

（Ⅱ）过分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于四点（如图所示），试求四边形面积的最大值和最小值．

11．（2023·湖南长沙·统考一模）设A，B是椭圆上异于的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线于C，D两点．

(1)求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；

(2)求面积的最小值．

12．（2023·浙江温州·统考二模）已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限．

(1)求点横坐标的取值范围；

(2)线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值．

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参考答案：

1．(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用椭圆对称性和点差法化简即可得；

（2）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，写出的表达式并利用韦达定理化简整理可得，解得.

【详解】（1）易知，设，依题意知；

易知，又点B、D不重合，所以，

又在椭圆上，可得，

两式相减可得；

可得，

可得

（2）设，直线的方程为，如下图所示：

??

联立，消去整理可得，且恒成立；

可得

易知，由可得；

，

所以，即，解得，

即点的坐标为.

2．(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由已知可得，两点的坐标，给函数求导可得切线的斜率，利用点斜式表示切线方程，联立方程即可得点坐标；

（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，写出直线，的方程，联立可得点坐标，设外接圆方程，求出圆心，整理变形即可得定点坐标；

（3）由已知设，坐标，表示和到的距离，然后表示,设，，，可得，利用函数的单调性即可求得最小值.

【详解】（1）∵，与抛物线相