第三章平稳随机信号的线性模型.pptVIP

3.MA模型的自相关函数因为i0和iq时,所以有:MA模型的尤拉-沃克方程模型已知时,可根据尤拉-沃克方程组求出随机时间序列的自相关函数；模型未知时,可由观察数据估计自相关函数,再由尤拉-沃克方程组求模型参数,进一步对模型做z域变换可得功率谱估计。研究ARMA.AR、MA模型自相关函数的意义是：例3-3求AR(1)模型的自相关函数:解:由尤拉-沃克方程可知有:令:由等式两边同次的系数相等，可导出:所以有:3.3.3功率谱密度所以系统的输入为强度为的信号，则输出实际上为系统的冲激响应乘，其功率谱为——为的有理函数例4-6求AR(2)模型的功率谱:解:3.4ARMA.AR、MA模型之间的关系一个无限阶的AR模型可以表示任意阶MA,ARMA模型一个无限阶的MA模型可以表示任意阶AR,ARMA模型1.Wold分解定理任何广义平稳随机过程都可以分解为完全随机的分量和一个完全确定分量之和（卡尔曼滤波就是一例）表示信号为完全随机的白噪声,其自相关函数为冲激函数表示信号当前值可由无限个过去值表示由分解定理可以有这样的推论:任意或序列均可用无限阶的唯一来表示从前面格林函数讨论举例4-2（书上例4-4，例4-5）可知ARMA、AR序列均可用格林函数表示为：例4-7（书上4-15）AR(1)模型…………依次迭代加入得一个序列—确知加随机例4-8（书上4-16）序列2.柯尔莫可洛夫定理（）任何ARMA或MA序列都可以用无限阶的AR序列来表示用表示解：H(z)=(ARMA)AR()：=令H(z)==次幂次幂…………例4-9（书上例4-17）次幂现代信号处理计算机与信息技术学院第三章平稳随机信号的线性模型第三章平稳随机信号的线性模型主要研究平稳随机信号经过线性系统的统计模型及平稳时间序列的几种基本的线性模型。3.1随机信号通过线性系统3.1.1基本概念连续时间系统离散时间系统描述一个线性系统特征的基本工具是单位冲击函数,或传递函数,或频率响应函数。连续时间系统:1.h(t)—单位冲击响应2.H(s)—传递函数,h(t)的拉氏变换3.H(w)—频率响应（幅度、相位）,h(t)的傅立叶变换离散时间系统:1.h(n)—单位取样响应2.H(z)—传递函数,h(n)的z变换3.—频率响应,h(n)的傅立叶变换3.1.2线性系统输入输出信号之间数字特征的关系一、二阶统计特性:均值、相关函数、互相关函数、功率谱等的相互关系1.连续时间系统（1）均值设平稳随机输入信号x(t)的均值为mx,输出y(t)的均值为my其中与t无关的常数（2）自相关函数（3）功率谱密度对做傅立叶变换，得:（4）互相关函数证:（5）互谱密度对做傅立叶变换，得:从输入、输出信号的互相关函数、互谱关系中包含了系统的频率特性的全部信息。（6）自协方差函数（7）互协方差函数例4-1已知x(t)是零均值的白噪声,其功率谱为。如下图所示,求CR解:一、二阶统计特性:均值、相关函数、互相关函数、功率谱等的相互关系2.离散时间线性系统（1）均值（2）均方值（3）功率谱（4）自相关函数（5）互相关函数（6）互谱密度3.2离散时间序列的ARMA模型3.2.1谱因子分解只要是ω的连续函数,则有称为功率谱的谱分解。证明如下:设为宽平稳随机信号X(n)的自相关函数，功率谱为且为ω的连续函数。由维纳—辛钦定理，有:设