【《幂级数和函数的应用》6900字（论文）】 .docx

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幂级数和函数的应用

目录

1前言 1

1.1研究背景 1

1.2研究意义 3

1.3研究现状 3

2相关理论 4

2.1幂级数 4

2.2幂级数和函数 5

3幂级数和函数的应用研究 6

3.1函数展开成幂级数 6

3.2幂级数和函数的方法探究 9

3.3幂级数和函数的几点应用介绍 13

4结论与展望 17

参考文献 18

1前言

1.1研究背景

幂级数理论起源于18世纪，是数学的几个领域之一.欧拉以及拉朗贝尔是先驱者，为建立幂级数论做了很多方面的工作.1774年，欧拉对幂级数的积分

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具有的一些性质进行了考量，同时发表于论文中.达朗贝尔，法国的一位数学家，在他所著的与流体力学相关的文章中提及了上述性质，比欧拉还要更早一些.所以，人们将这两个方程称为了“达朗贝尔一欧拉方程”.19世纪，黎曼以及柯西对流体力学展开分析时，在以上方程的基础上进行了更加深入地探讨，从这时候开始，幂级数就是针对基于复数域符合上述条件的构建的一类解析函数展开探究.

19世纪，幂级数论实现了全面发展，就好比微积分在18世纪的数学中占据了统治地位，幂级数同样在19世纪的数学中占据了统计地位.黎曼、柯西以及魏尔斯特拉斯等人在复变量函数论的研究上应用到了很多技术，对于这门学科来说，正式特征他们也已经提出了.

20世纪初期，历经较长时间的发展，幂级数论的理论越发完善，技巧也更加精湛，作为数学的组成部分之一起到了至关重要的作用.它对部分学科如数论、微分方程以及概率论等的发展起到了积极地推动作用，诸多现代理论均基于当时的数学研究才得以发展，幂级数论也会被用作有力工具之一让现实生活中面临地复杂计算问题得到了很好的解决，如计算稳定场等等，也已普遍用于航空力学以及流体力学等多个领域，众多理工科专业都将该理论的基础内容列入到了必修课程的范畴.许多数学家也进行了非常多的研究工作，如法国的阿达玛、瑞典的米塔-列夫勒等，幂级数论也涉及到了越来越多的研究领域，他们在发展、拓展并且壮大这门学科上所作的贡献是非常之大的.所以，本文围绕着幂级数理论展开，对其思想方法的具体演变进程展开分析，不单单理论价值比较大，现实意义也是极为深远的.

幂级数在研究函数方面是一个很有力的工具.作为函数级数中的一种，幂级数的形式比较简单，应用也极为广泛，基础初等函数在一定范围内都可展开成幂级.当前对幂级数和函数研究在不断发展，幂级数的性质日益完善.

在数学分析中，幂级数是至关重要的内容之一，且从复变函数论来看，从理论与应用这两个层面来看，函数幂级数展开均起到了重要作用，而从复变函数来看，也被当作了一种重要工具.运用幂级数和函数的性质进行分析，可以解决很多数学难题.

用幂级数表示的力学方程可以解决很多工程力学问题，在应用内容上非常丰

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富.目前幂级数对其他领域，如非线性椭圆型方程、循环码等，的研究含不够完善，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系.

1.2研究意义

当前，对幂级数和函数的研究已经较为全面，但在其应用方面的总结和研究还有一定的缺陷和不足，但这个内容对幂级数和函数能否在实际工作和生活中得到发展至关重要，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系，为一线工作人员提供理论的参考.

本研究是基于幂级数和函数的理论性质的概述和应用相关文献的总结，这对在线性递归数列、三角级数求和以及组合问题等多个方面对函数幂级数的应用展开探讨起到了极大地帮助，为以后的研究提供参考依据.

1.3研究现状

函数和幂函数的应用在数学领域的研究不断深化，对数学教学中的研究也在不断发展.在微积分学中，无穷级数是其中的一个重要部分，数学理论研究也好，

工程实际应用也罢，都起到了非常重要的作用.作为与无穷级数相关的最为常用的函数项级数之一，从大学数学教学来看，对幂级数问题展开分析是有着极为深远的现实意义的.在多个实例的基础上，方艳等人[1]总结了求幂级数和函数的具体思路，并且对详细解题过程进行了列示.在对函数进行表示时，幂级数通过的是幂函数的和也就是多项式，作为函数项级数中的一种，具有形式简单的优点，应用也极为广泛.在范围一定的情况下，对基本初等函数进行展开是能够得到幂级数的.幂级数是符合四则运算法则的，提供了加减乘除这四种运算，无论是积分还是求导都极为方便，所以，在对函数性质进行探讨的过程中，幂级数无疑是一种有力工具，理论证明也好，工程计算也罢，应用都是极为广泛的.陈芳芳[2]以函数的幂级数展开式为中心，着重对其在欧拉公式证明、近似计算、电场计算、微分方程求解以及累积分布函数计算等多个方面