勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型）（学生版）-初中数学.pdf

勾股定理常考几何模型专项训练(8大题型)

题型一圆柱中的最短路径模型

题型二长方体中的最短路径模型

题型三将军饮马型最短路径问题

题型四勾股定理中的翻折模型(三角形)

题型五勾股定理中的翻折模型(长方形)

题型六勾股定理中的线段的平方和模型

题型七勾股定理中的最值问题

题型八勾股定理常考模型综合

知识点1、圆柱中的最短路径模型

条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。

22

结论：彩带最短需要c+h厘米．

证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，

根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是AB的长度，

222222

由勾股定理得，AB=BA+BB=h+c，则这条丝线的最短长度是c+h厘米，

注意：1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开-定点-连线-勾股定理的步骤进行计算；

2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

知识点2、长方体中的最短路径模型

1

条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，(其中：hab)。

222

结论：蚂蚁爬行的最短路程是a+b+h+2ab

证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，AC=a+b；CF=h

2222222

则AF=AC+CF=a+b+h=a+b+h+2ab；

如图，当长方体的侧面按图乙展开时，AB=a；BF=h+b

2222222

则AF=AB+BF=a+h+b=a+b+h+2hb；

如图，当长方体的侧面按图丙展开时，AE=a+h；EF=b

2222222

则AF=AE+EF=h+a+b=a+b+h+2ah；

222222222

∵hab，∴ahbhab，故a+b+h+2aha+b+h+2bha+b+h+2ab

222

∴蚂蚁所行的最短路线长为a+b+h+2ab，

注意：1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论；

2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。

知识点3、将军饮马与空间最短路径模型

条件：如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底

部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，

结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：c+h厘米。22

证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A，过A作AD⊥AA交B的延长线于D，

则四边形AECD是矩形，∴AD=EC，AE=AE=CD，连接AB，则AB即为最短距离，

∵由题意得，AD=h(cm)，AE=AE=CD=a(cm)，BD=h-a+AE=h(cm)，

2222

在Rt△ABD中，AB=AD+BD=c+h(cm)．