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2025届高考数学一轮复习讲义——集合与常用逻辑用语

【高考考情分析】

集合是高考的必考内容，一般试题较为简单，属于送分题，集合主要考查集合的基本运算，常结合不等式进行考查.

常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全（特）称命题的否定，难度中等偏易，以选择题和填空题为主.

【基础知识复习】

1.集合中元素的三个特征：

（1）确定性：对于给定的集合，元素必须是确定的.

（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，相同的对象归入同一个集合时，只能算作集合的一个元素.

（3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.

3.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作：或.读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.

4.集合的相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.

也就是说，若，且，则.

5.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.

6.并集的运算性质：

（1），即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；

（2），即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.

7.交集的运算性质：

（1），即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；

（2），即任何集合与空集的交集等于空集.

8.充分条件与必要条件的定义：

一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．由p可以推出q，记作．并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

9.充要条件的定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.如果，那么p与q互为充要条件.

10.全称量词命题的真假判断：全真为真，一假为假.

存在量词命题的真假判断：一真为真，全假为假.

11.全称量词的否定：，的否定：，.也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.

12.存在量词的否定：，的否定：，.也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.

【重点难点复习】

1.集合的运算性质及重要结论

（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

（2）集合与集合之间的关系：，．

（3）空集是任何集合的子集.

（4）含有n个元素的集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个.

（5）a.，，；

b.，，；

c.，；

d.，.

2.集合运算中的常用方法

（1）数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解.

（2）图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.

（3）Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解.

3.全(特)称命题及其否定

(1)全称命题p：．它的否定：；

(2)特称命题p：．它的否定：；

4.充分与必要条件的判断：若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，那么有以下结论：

p与q的关系

集合关系

结论

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

【基本方法与技能复习】

1.根据两集合的关系求参数的方法

（1）若集合中元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.

2.判断集合之间关系的方法

（1）列举法：根据题中限定条件把集合中元素表示出来，然后比较集合中元素的异同，从而找出集合之间的关系.

（2）结构法：从集合中元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断.

（3）数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合之间的关系.

3.求解集合的基本运算问题的步骤

（1）确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件.

（2）化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，将集合清晰表示出来.

（3）运算求解：利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应用数轴或Venn图直观求解.

4.判断充分条件和必要条件的方法

（1）定义法：直接判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合.

（2）等价法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

（3）集合法：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若，则A是B的充要条件.

5.全（特