人教版八年级数学下册专题3二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（解析版）.docxVIP

专题3二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（解析版）

第一部分典例精析+变式训练

类型一分母有理化

技巧1一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋?曲阳县期末）把3a

A．4b B．2b C．12b

思路引领：根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．

解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；

∴3a

故选：D．

总结提升：本题主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则a?b=ab（a≥0，b≥0），除法法则ba=ba（

变式训练

1．（2022春?东莞市期中）化简：18=

思路引领：分子、分母同乘8，再根据二次根式的性质进行化简．

解：18

故答案为：24

总结提升：本题主要考查分母有理数，熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的化简是解决本题的关键．

2．（2021春?龙山县期末）把122a化成最简二次根式，结果是

思路引领：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求出答案．

解：原式=2

故答案为：6a

总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．

技巧2平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母

典例2（2022春?乳山市期末）【材料阅读】

把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．

例如：化简12

解：12

上述化简的过程，就是进行分母有理化．

【问题解决】

（1）化简12-3的结果为：

（2）猜想：若n是正整数，则1n+1+n

（3）若有理数a，b满足a2-1+b

思路引领：（1）分子分母同乘以2+3

（2）分子分母同乘以n+1

（3）先化简右式，其结果应等于左式，解方程即可．

解：（1）12-3=

故答案为：2+3

（2）1n

故答案为：n+1

（3）化简得，a2-1+b2+1=（a+

∵a2-1+

∴a+

得a=

总结提升：本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题关键．

变式训练

1．（2022秋?宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：12+5

思路引领：分子和分母都乘5-2

解：1

=5

=5

=5-

故答案为：5-2

总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．

2．（2022秋?牡丹区期末）若13-7的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+7）ab＝

思路引领：先将13-7分母有理化并根据7的大小确定出取值范围，然后求出a、

解：13-

∵2＜7＜

∴5＜3+7＜

∴2.5＜3+7

∵13-7的整数部分是a，小数部分是

∴a＝2，

b=3+72

所以，a2+（1+7）ab＝22+（1+7）×2×7-12=4+（7

故答案为：10．

总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，分母有理化，难点在于将所给二次根式分母有理化并确定出取值范围从而求出a、b的值．

技巧3分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简

典例3化简：

思路引领：提取分母中的公因式，然后约分化简

解：

总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。

变式训练：化简：

思路引领：提取分子分母中的公因式，然后约分化简

解:

总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分子、分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。

技巧4分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。

典例4（2022秋?浦东新区校级月考）先化简，再求值x-yx+y+x-

思路引领：利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．

解：x

=(

=x

＝2x-

当x＝5，y=1

原式＝25

＝25

=8

总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

针对训练：化简：

（1）（2）

思路引领：把分子分母用平方差公式，用因式分解的方法，再约分，比较简便

解：（1）

（2）

总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分子分母用平方差公式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。

技巧5裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。

24．观察下面式子的化简过程：

26

化简410

思路引领：根据题意把原式的分子化为平方差的形式，再约分即可．

解：原式=

=(5+2

=(

=5

总结提升：本题考查的是分母有理化，根据题意找出有理化因式是解答此题的关键．

变式训练：

1．化简：

思路引领：将分子化为分母中两