人教版八年级数学下册专题4二次根式的运算与应用（解析版）.docxVIP

专题4二次根式的运算与应用（解析版）

典例精析+变式训练

类型一二次根式的计算

典例1（2022秋?渠县校级期末）化简：

（1）(2

（2）计算：27+

思路引领：（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；

（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．

解：（1）(

=36-6

＝6﹣63

＝6﹣73；

（2）27

=9+16

＝3+4+2﹣3

＝6．

总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

变式训练

1．（2022秋?长安区期中）下列计算正确的是（）

A．23+32=55 B．23×32

C．55-23=32 D．30÷（

思路引领：先根据二次根式的加减法法法则，二次根式的除法法则和二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．

解：A．23和32不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；

B．23×32=（2×3）3×2

C．55和﹣23不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；

D．30÷（5

=30

=5

故选：B．

总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

2．（2022秋?市北区校级期末）计算式子（3-2）2021（3+2）

A．﹣1 B．3-2 C．2-3 D

思路引领：先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．

解：（3-2）2021（3+2

＝[（3-2）×（3+2）]2020×（3

＝（﹣1）2020×（3-2

＝1×（3-2

=3-

故选：B．

总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．

类型二与二次根式有关的化简求值

例2（2022秋?商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+a2-10a

小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．

小宇的解答过程如下：

解：2a+

＝2a+(

＝2a+a﹣5……（第二步）

＝3a﹣5．……（第三步）

当a＝3时，

原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）

小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：

2a+

＝6+

＝6+2

＝8．

由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．

思路引领：根据二次根式的性质将二次根式进行化简后，再代入求值即可．

解：错在第二步，

原式＝2a+(a-5)2=

∵a＝3＜5，

∴a﹣5＜0，

∴原式＝2a+（5﹣a）

＝a+5，

当a＝3时，

原式＝3+5

＝8．

总结提升：本题康熙二次根式的化简与求值，掌握a2=|a

变式训练

1．（2022春?藁城区校级月考）先化简，再求值：2-(a-

思路引领：利用二次根式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．

解：2-

＝2﹣|a﹣2|+a2﹣1

＝a2+1﹣|a﹣2|，

当a=

原式＝（2）2+1﹣（2-2

＝2+1﹣2+

＝1+2

总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

2．（2022秋?静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2-3，b=12-

思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．

解：∵b=12-3=2+3(2-3

∴a﹣b＝2-3-（2+3）＝2-3-2

∴a2-2

总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．

典例3（2022秋?青浦区校级期中）先化简再求值：x-2xy+yx-

思路引领：根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．

解：原式=(x-y

＝（x-y）?（

＝x﹣y，

当x=13+22=3-22(3+22)(3-22

原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．

总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．

变式训练

1．（2022秋?虹口区校级月考）先化简，再求值：4a-b+a+bba

思路引领：利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．

解：4

=4

=4

=4

=-

=-

∵a＝1，b＝2，

∴原式=-2(

总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．

典例4（2022春?邹城市校级月考）先化简，再求值：

（1）2（a+3）（a-3）﹣a（a﹣6）+6，a=

（2）已知a＝2+3，b＝2-3，求

思路引领：（1）利用乘法公式展开，然后合并同类项，再把a的值代入计算；

（2）先计算出a+b、a﹣b和ab的值，再通分和平方差公式得到