人教版八年级数学下册专题6海伦—秦九昭公式（原卷版）.docxVIP

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2024-09-22 发布于陕西
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人教版八年级数学下册专题6海伦—秦九昭公式（原卷版）.docx

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专题06海伦—秦九昭公式

【例题讲解】

阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：……①（其中、、为三角形的三边长，为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：……②（其中）

（1）若已知三角形的三边长分别为，，，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积；

（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．

【详解】解：（1）由公式得①得

由②得，故

（2）可以，过程如下：，

【综合解答】

1．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式（其中），我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积．

2．我国南宋时期数学家秦九昭及古希腊的几何学家海伦对于问题：“已知三角形的三边，如何求三角形的面积”进行了研究，并得到了海伦—秦九昭公式：如果一个三角形的三条边分别为，记，那么三角形的面积为，请用此公式求解：在中，，，，求的面积.

3．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p=（a+b+c），则有下列面积公式：S=（海伦公式）；S=（秦九韶公式）．

(1)一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；

(2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．

4．材料阅读：

古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为，这一公式称为海伦公式．

我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式，被称之为秦九韶公式．

(1)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面积．

(2)在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为____________．

5．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在中，，，．

(1)的面积；

(2)过点A作，垂足为D，求线段AD的长．

6．秦九韶（1208年－1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为：

(1)在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．

(2)如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长．

7．已知是关于的一元二次方程的两实数根．

(1)求的取值范围；

(2)已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．

(3)阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．

8．请阅读下面材料，并解决问题：

海伦——秦九韶公式

海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202－1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．

问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．

9．在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量