人教版八年级数学下册专题9勾股定理中的最值问题突破技巧（解析版）.docxVIP

专题9勾股定理中的最值问题突破技巧（解析版）

类型一求一条线段的最小值

技巧1利用垂线段最短求最值

典例1（2022春?路北区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）

A．5 B．6 C．4 D．4.8

思路引领：根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．

解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，

过A作AD⊥BC，交BC于点D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴D为BC的中点，又BC＝6，

∴BD＝CD＝3，

在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，

根据勾股定理得：AD=AC

又∵S△ABC=12BC?AD=12

∴BP=BC?

故选：D．

总结提升：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

变式训练

1．（2022?安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）

A．332 B．532 C．33

思路引领：如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．

解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，

∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，

∴S1+S0＝S2+S3，

∵S1+S2+S3＝2S0，

∴S1+S1+S0＝2S0

∴S1=12S

∵△ABC是等边三角形，边长为6，

∴S0=34×62＝

∴S1=9

过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．

∵△PAB的面积是定值，

∴点P的运动轨迹是直线PM，

∵O是△ABC的中心，

∴CT⊥AB，CT⊥PM，

∴12?AB?RT=932，CR＝33

∴RT=3

∴OT＝OR+TR=5

∵OP≥OT，

∴OP的最小值为53

当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为73

如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为532，当点P在②④⑥区域时，最小值为

∵53

故选：B．

总结提升：本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．

技巧2转化为其他线段，再根据垂线段最短

典例2（2022?苍溪县模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（）

A．245 B．485 C．125

思路引领：根据矩形的性质得出CM＝PN，求出CQ=12CM，要使CQ的值最小，只要CM的值最小即可，根据垂线段最短得出CM⊥AB时，CM最小，再根据三角形的面积公式求出

解：过C作CM⊥AB于M，CM交PN于W，

∵Q为PN的中点，

∴PQ＝NQ，

∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，

∴BC2+AC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，

∴CQ=12

∵MP⊥BC，MN⊥AC，

∴∠CPM＝∠CNP＝90°，

∴四边形CPMN是矩形，

∴PN＝CM，PW＝NW，CW＝MW，

∵PQ＝MQ，

∴Q和W重合，

∴CQ=12

要使CQ值最小，只要CM最小就可以，

当CM⊥AB时，CM最小（垂线段最短），

∵S△ABC=1

∴6×8＝10×CM，

∴CM=24

∴CQ的最小值是12

故选：C．

总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，垂线段最短和三角形的面积等知识点，能求出CQ=12

变式训练

1．（2022春?思明区校级月考）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3．

（1）求BC的长．

如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF，求EF的最小值．

思路引领：（1）作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，BM＝CM，由直角三角形的性质得出AM=12AB=32

（2）延长DE交BC于G，当BD⊥AC时，证明△BDG是等边三角形，得出BF＝GF，证明△EFG是等边三角形，得出∠EFG＝60°＝∠DBG，证出EF∥BD，得出EF⊥AC，此时EF最小=12BG=12BD，由直角三角形的性质求出AD=12AB=

解：（1）作AM⊥BC于M，如图1所示：

∵等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵AM⊥BC，