人教版八年级数学下册专题32一次函数与将军饮马结合（解析版）.docxVIP

专题32一次函数与将军饮马结合

1．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．．

(1)求AB；

(2)在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值；

(3)在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标．

【答案】(1)5

(2)

(3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．

【分析】（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值；

（2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点连接，求解即可；

（3）根据AB是腰分类讨论即可．

【详解】（1）解：∵

∴a=4，b=3

∴OA=4，OB=3

根据勾股定理可得

∴

所以AB长度为5．

（2）解：存在点P，使得PB+PD最小值为

如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点连接，过点D作轴于点F，

∵

∴

在和中

∴

∴OB=AE=3，OA=DE=4

∴点D坐标为（4，7）

∵，DF=7

根据勾股定理可得

∴

∴PB+PD最小值为．

（3）解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0）

当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0）

∴使以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．

【点睛】本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三角形的判定．

2．如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．

（1）画出ABC关于y轴的对称的A1B1C1．

（2）A1B1C的面积为；

（3）y轴上存在一点P使得ABP的周长最小，点P的坐标为，周长最小值为．

【答案】（1）见解析；（2）7；（3），

【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；

（2）根据三角形的面积公式求解即可；

（3）利用待定系数法求出AB1所在直线解析式，从而得出点P坐标，再利用勾股定理可得三角形ABP周长最小值．

【详解】解：（1）如图所示，△即为所求．

（2）如图所示，连接，△的面积为，

故答案为：7；

（3）如图所示，连接，与轴的交点即为所求点，

设所在直线解析式为，

则，

解得，

，

当时，，

；

，，

周长最小值为，

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对称点．

3．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．

(1)求该一次函数的表达式；

(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；

(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】(1)y＝-x＋5

(2)；

(3)存在，或

【分析】(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可写出一次函数的表达式．

(2)先作出A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B与y轴的交点即为P点．求出直线A′B的函数表达式，即可求出P点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出A′B的长，即PA+PB的最小值．

(3)先求出△AOB的面积，再根据△MOA的面积等于△AOB的面积列方程求出M点的横坐标，即可求出M点的坐标．

（1）

把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得

，解得，

∴一次函数的表达式为：y=-x+5；

（2）

作A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B交y轴于P点，连接PA，此时PA+PB的值最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B，

设A′B的表达式为y=mx+n，则

，解得，

∴直线A′B的表达式为，

当x=0时，y=，

∴P(0，)，

且

，

∴PA+PB的最小值为；

（3）

由y=-x+5得C(5，0)，

∴S△AOB=S△AOC-S△BOC

，

设M(xM，yM)，

∵S△MOA=S△AOB，

，

∴，

∴或，

∴M(，0)或（，0），

∴存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积，且M点的坐标为(，0)或（，0）．

【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值(即将军饮马)，两点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键．

4．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线的反关联点为．已知点，，．

(1)点B的反关联直线的解析式为______，直线AC的反关联点的坐标为______；

(2)设直线AC的反关联点为