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函数及其应用第一章

第一章知识目标：掌握集合、区间、邻域的基本概念掌握函数的概念和性质掌握基本初等函数及其图形特性了解初等函数概念，掌握复合函数概念理解分段函数、隐函数和参数方程了解极坐标系、极坐标方程和常见工程曲线能力目标：能求函数的定义域，能写出复合函数的复合过程能建立简单的函数模型能识读工程上常见曲线方程能操作MATLAB绘制平面图形

函数（function）是描述客观世界变化规律的重要数学模型。函数中蕴涵着的运动和变化的观点、集合与对应的思想，即使在数学之外的领域，函数的应用也是越来越广泛和深刻，可以说函数无处不在。第一节函数及其性质一、函数的概念

第一节函数及其性质

第一节函数及其性质

第一节函数及其性质集合、区间、领域集合：指具有某种特定性质的事物的总体。常用数集有：区间：是高等数学中常用的一类数集。有限区间：无限区间：

第一节函数及其性质邻域：高等数学中常用的一种区间形式。点的邻域点的去心邻域集合、区间、邻域是三个不同的概念，你能说说它们之间的关系吗？

【小背景】德国数学家康托（GeorgCantor,1845～1918）在19世纪末创立集合论.康托集合论中最能显示其独创性的成就是对无限集合的研究，他提出用一一对应准则来比较无限集合元素的个数，比如正整数集与正偶数集之间存在一一对应关系，因而它们具有相同的个数，这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托认为这恰恰是无限集的特征（读者可尝试先思考本节习题1.1的第一个应用实践题，再阅读第二章数学思维中的“希尔伯特”旅馆问题），并进一步得到了一系列令人震惊的关于无限的结论，却也因此遭到了许多数学家的激烈反对，致使他几度陷于精神崩溃，直到20世纪初集合论才获得世界公认.但在1902年出现的罗素悖论又使得绝对严密的数学陷入自相矛盾之中，引发了数学史上的第三次危机，直到公理化集合论的建立才得以较圆满地解决.

第一节函数及其性质定义1.1在某一变化过程中有两个变量，为一个非空数集.如果存在一个对应法则，对于变量在其变化范围内任意取定的每一个值，按照这一对应法则，变量都有唯一确定的数值与之对应，则称为定义在数集上的函数，记为这时，称为自变量，为因变量，自变量的变化范围称为函数的定义域.第一节函数及其性质

第一节函数及其性质例已知，求，，.解：

第一节函数及其性质注意：若不考虑实际意义，只研究用解析式表达的函数，我们规定：函数的定义域是使函数解析式有意义时自变量所取的实数集合.例求函数的定义域.解：

第一节函数及其性质定义1.2设有函数，定义域为，值域为.如果对于任意，都可以从关系式中确定唯一的值与之对应，那么所确定的以为自变量的函数称为函数的反函数.习惯上，函数自变量用表示，所以反函数通常表示为，此时函数与反函数的图像有如图对称性。

第一节函数及其性质例设函数，求它的反函数.解：由解得，再交换变量记号得所求反函数显然，函数与它的反函数的图像关于直线对称.

第一节函数及其性质请思考：三角函数需要具备什么条件才能有反函数呢?用“+三角函数名”的记号来表示反三角函数首先是由数学家欧拉提出并使用的。比如记号当时表示的是属于的唯一的一个角（弧度数），其正弦值为。

第一节函数及其性质例求函数的定义域.解：反正弦函数是的反函数，因此确定定义域时，除分母不能为零外，且有所以，函数定义域为

第一节函数及其性质在不考虑实际意义的情形下，确定函数定义域时通常