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积分区间有限
定积分
被积函数有界
推
广
积分区间无限
反常积分常义积分的极限
被积函数
广义积分
1.无穷限的反常积分
定义(1)设f(x)在[a,+)上连续,取ta,
t
如果极限limf(x)dx存在,则称这个极限值
t→+a
+
为f(x)在[a,+)上的反常积分,记作af(x)dx.
+t
即f(x)dxlimaf(x)dx
at→+
当极限存在时,称反常积分收敛;
当极限不存在时,称反常积分发散.
类似地,若f(x)C(−,b],则定义
bb
−f(x)dxlimtf(x)dx
t→−
(2)若f(x)C(−,+),则定义
ct
limtf(x)dx+limcf(x)dx
t→−t→+
(c为任意取定的常数)
只要有一个极限不存在,就称发散.
注引入记号
F(+)limF(x);F(⎯)limF(x)
x→+x→⎯
则有类似牛–莱的计算表达式:
+
af(x)dxF(x)F(+)⎯F(a)
b
⎯f(x)dxF(x)F(b)⎯F(⎯)
+
⎯f(x)dxF(x)F(+)⎯F(⎯)
+11
例计算反常积分2x2sinxdx
+11+sin1d1
解2si
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