8-3-曲面及其方程.ppt

第三节一、曲面方程的概念定义1.例1.求动点到定点例2.研究方程二、旋转曲面建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为例4.求坐标面xoz上的双曲线四、二次曲面1.椭球面2.椭圆锥面3.抛物面4.双曲面(2)双叶双曲面内容小结2.二次曲面思考与练习*四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面机动目录上页下页返回结束曲面及其方程第八章求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.机动目录上页下页返回结束AB如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动目录上页下页返回结束S故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方化成球面方程.的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为机动目录上页下页返回结束定义2.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该旋转曲线称为母线,定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束母线旋转轴故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例3.的圆锥面方程.L的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动目录上页下页返回结束分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转旋转单叶双曲面所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束旋转双叶双曲面三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,平行于z轴的直线沿曲线C移动所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束定义3.直线l并沿定曲线C平行移动所形成的轨迹叫做柱面.?表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.?z轴的平面.?表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l叫做母线.机动目录上页下页返回结束一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆