【《幂级数和函数的应用探究》9600字（论文）】 .docx

幂级数和函数的应用研究目录

摘要 1

1前言 1

1.1研究背景 1

1.2研究意义 2

1.3研究现状 2

2相关理论 4

2.1幂级数 4

2.2幂级数和函数 4

3幂级数和函数的应用研究 5

3.1函数展开成幂级数 5

3.1.1泰勒级数 5

3.1.2麦克劳林级数 7

3.1.3幂级数和函数的应用的步骤 8

3.2幂级数和函数的方法探究 9

3.2.1定义法 9

3.2.2逐项求导法 9

3.2.3逐项积分法 10

3.2.4其他方法 11

3.3函数和幂级数的几点应用介绍 12

3.3.1皮亚诺型余项应用于函数幂级数的求解 12

3.3.2Qp函数空间中的随机函数 14

3.3.3无理性幂级数理论在函数上的应用 16

4结论与展望 18

参考文献 19

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摘要：幂级数和函数问题是数学分析课程中的重要内容，利用函数这一数学工具可以有效解决数学中的很多问题。介绍了幂级数和函数以及求和函数的方法，对幂级数和函数的应用展开了讨论。应用幂级数的和函数解决问题，必须细心分析，选择合适的幂级数是解决这类问题的核心。和函数可以通过逐项积分、逐项微分等方法求解，计算过程中要灵活变形，具体问题具体分析.掌握幂级数的和函数的应用方法，对提高问题的解决与处理能力有重要的帮助。

关键词：幂级数；函数；应用

1前言

1.1研究背景

幂级数论起源于18世纪，是数学众多分支学科中的一门学科。欧拉以及拉朗贝尔是先驱者，为建立幂级数论做了很多方面的工作。1774年，欧拉对幂级数的积分具有的一些性质进行了考量，同时发表于论文中。达朗贝尔，法国的一位数学家，在他所著的与流体力学相关的文章中提及了上述性质，比欧拉还要更早一些。所以，人们将这两个方程命名为了“达朗贝尔一欧拉方程”。19世纪，黎曼以及柯西对流体力学展开分析时，在以上方程的基础上进行了更加深入地探讨，因而该方程也被称之为“柯西一黎曼条件”。从这时候开始，幂级数就是针对基于复数域符合上述条件的构建的一类解析函数展开探究。

19世纪，幂级数论实现了全面发展，就好比微积分在18世纪的数学中占据了统治地位，幂级数同样在19世纪的数学中占据了统计地位。黎曼、柯西以及魏尔斯特拉斯等人在复变量函数论的研究上应用到了很多技术，对于这门学科来说，正式特征他们也已经提出了。那时的数学家普遍认为，幂级数论这个分支是最为丰饶的，而且将其视同为当时的数学享受，克莱因也指出，在抽象科学中，这个理论是其中最为和谐的一个理论。

20世纪初期，历经较长时间的发展，幂级数论的理论越发完善，技巧也更加精湛，作为数学的组成部分之一起到了至关重要的作用。它对部分学科如数论、微分方程以及概率论等的发展起到了积极地推动作用，诸多现代理论均基于当时的数学研究才得以发展，幂级数论也会被用作有力工具之一让现实生活中面临地

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复杂计算问题得到了很好的解决，如计算稳定场等等，也已普遍用于航空力学以及流体力学等多个领域，众多理工科专业都将该理论的基础内容列入到了必修课程的范畴。许多数学家也进行了非常多的研究工作，如法国的阿达玛、瑞典的米塔-列夫勒等，幂级数论也涉及到了越来越多的研究领域，他们在发展、拓展并且壮大这门学科上所作的贡献是非常之大的。所以，本文围绕着幂级数理论展开，对其思想方法的具体演变进程展开分析，不单单理论价值比较大，现实意义也是极为深远的。

幂级数在研究函数方面是一个很有力的工具。作为函数级数中的一种，幂级数的形式比较简单，应用也极为广泛，基础初等函数在一定范围内都可展开成幂级。当前对幂级数和函数研究在不断发展，幂级数的性质日益完善。

在数学分析中，幂级数是至关重要的内容之一，且从复变函数论来看，从理论与应用这两个层面来看，函数幂级数展开均起到了重要作用，而从复变函数来看，也被当作了一种重要工具。运用幂级数和函数的性质进行分析，可以解决很多数学难题。

用幂级数表示的力学方程可以解决很多工程力学问题，在应用内容上非常丰富。目前幂级数对其他领域，如非线性椭圆型方程、循环码等，的研究含不够完善，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系。

1.2研究意义

当前，对幂级数和函数的研究已经较为全面，但在其应用方面的总结和研究还有一定的缺陷和不足，但这个内容对幂级数和函数能否在实际工作和生活中得到发展至关重要，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系，为一线工作人员提供理论的参考。

本研究是基于幂级数和函数的理论性质的概述和应用