人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 (3).ppt

第一章学习单元3空间向量及其运算的坐标表示

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本学习单元包括空间直角坐标系,空间向量运算的坐标表示,向量平行和向量垂直时坐标之间的关系,向量长度公式的坐标表示,两向量夹角公式的坐标表示,以及空间两点间的距离公式等内容.在平面向量中,我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系,从而把平面向量的运算转化为数的运算.类似地,通过建立空间直角坐标系,以与x轴、y轴、z轴方向相同的三个单位向量i,j,k为基底,可以把空间向量的运算转化为数的运算.在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:空间向量基本定理→空间直角坐标系→空间向量运算的坐标表示→简单应用.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:

空间向量基本定理→空间直角坐标系→空间向量运算的坐标表示→简单应用通过本单元的学习,我们应该了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间向量及其运算的坐标表示,并会应用这些知识解决简单的立体几何问题,从中发展数学运算和逻辑推理等素养.

学习目标1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示.2.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算)3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(逻辑推理、数学运算)4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式,能运用公式解决问题.(数学运算)

基础落实·必备知识全过关

知识点1空间直角坐标系与坐标表示1.空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.?x轴、y轴、z轴

2.点的坐标.

3.向量的坐标.在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).当向量的始点为坐标原点时,向量的坐标与向量终点坐标是一致的

微点拨1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.

微思考1.在空间直角坐标系中,O为坐标原点,向量的坐标与终点P的坐标有何关系????2.在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系??提示向量的坐标恰好是终点P的坐标,这就使得向量的坐标与点的坐标形成一一对应.提示是.在给定空间直角坐标系下,空间给定一点,其坐标是唯一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间也有唯一的点与之对应.

知识点2空间向量运算的坐标表示1.空间向量的坐标运算法则.设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么向量运算向量表示坐标表示加法a+b?减法a-b?数乘λa?数量积a·b?(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(λa1,λa2,λa3)a1b1+a2b2+a3b3

2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示.若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b≠0时,a∥b?a=λb?(λ∈R);?(2)a⊥b??.?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0

4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示.若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

微思考

重难探究·能力素养全提升

问题1在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢