7.3-曲面及其方程.ppt

一、曲面方程的概念

二、旋转曲面

三、柱面

第三节曲面及其方程

第七章

1

水桶的表面、台灯的罩子面等．

曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．

曲面的实例：

一、曲面方程的概念

求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的

化简得

即

引例:

解:设轨迹上的动点为

轨迹方程.

3

定义1.

如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:

(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;

则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,

曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.

两个基本问题:

(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,

(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,

求曲面方程.

(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状

（讨论旋转曲面）

（讨论柱面、二次曲面）

4

故所求方程为

例1.求动点到定点

方程.

特别,当M0在原点时,球面方程为

解:设轨迹上动点为

即

依题意

距离为R的轨迹

表示上(下)球面.

5

例.研究方程

解:配方得

此方程表示:

说明:

如下形式的三元二次方程(A≠0)

都可通过配方研究它的图形.

其图形可能是

的曲面.

表示怎样

半径为

的球面.

球心为

一个球面

,或点

,或虚轨迹.

解

根据题意有

所求方程为

7

例3方程的图形是怎样的？

根据题意有

图形上不封顶，下封底．

解

8

二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义

以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转

曲面的轴．

4/21

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二、旋转曲面

定义：以一条平面

曲线绕其平面上的

一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋

转曲面.

这条定直线叫旋转曲面的轴．

4/21

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建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:

当绕z轴旋转时,

若点

给定yoz面上曲线C:

则有

则有

该点转到

旋转过程中的特征：

如图

23

将代入

得方程

平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。

24

解

圆锥面方程

25

例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．

旋转双曲面

26

旋转椭球面

旋转抛物面

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引例.分析方程

表示怎样的曲面.

的坐标也满足方程

解:在xoy面，

表示圆C,