人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津(三) 在导数应用中如何构造函数.ppt

指点迷津(三)在导数应用中如何构造函数第三章

在导数应用中如何构造函数函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现.

一、利用f(x)进行抽象函数构造(一)利用f(x)与x构造

例1.设f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)+xf(x)0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)0的解集为.?思路点拨出现“+”法形式,优先构造F(x)=xf(x),然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.答案:(-∞,-4)∪(0,4)解析:构造F(x)=xf(x),则F(x)=f(x)+xf(x),当x0时,f(x)+xf(x)0,可以推出当x0时,F(x)0,∴F(x)在(-∞,0)上单调递减.∵F(x)=xf(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,F(4)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象,根据图象可知xf(x)0的解集为(-∞,-4)∪(0,4).

2.xf(x),是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式,如果碰见复杂的,不易想的,我们该如何处理,由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.F(x)=xnf(x),F(x)=nxn-1f(x)+xnf(x)=xn-1[nf(x)+xf(x)];结论:(1)如果题目中出现nf(x)+xf(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);(2)如果题目中出现xf(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.根据得出的结论去解决例2.

例2.已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f(x),且满足f(-1)=0,当x0时,2f(x)xf(x),则使得f(x)0成立的x的取值范围是.?思路点拨满足“xf(x)-nf(x)”形式,优先构造F(x)=,然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.答案:(-1,0)∪(0,1)∴F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象,根据图象可知f(x)0的解集为(-1,0)∪(0,1).

对点训练1设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x0时,有xf(x)-f(x)0恒成立,则不等式f(x)0的解集为.?答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)∴F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F(1)=0,F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象,根据图象可知f(x)0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).

(二)利用f(x)与ex构造

例3.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f(x)满足f(x)f(x)对于x∈R恒成立,则()A.f(2)e2f(0),f(2019)e2019f(0)B.f(2)e2f(0),f(2019)e2019f(0)C.f(2)e2f(0),f(2019)e2019f(0)D.f(2)e2f(0),f(2019)e2019f(0)思路点拨满足“f(x)-f(x)0”形式,优先构造F(x)=,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可,注意选项的转化.

答案:D导函数f(x)满足f(x)f(x),则F(x)0,F(x)在R上为减函数,根据单调性可知选D.

2.同样exf(x),是比较简单常见的f(x)与ex之间的函数关系式,如果碰见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢?F(x)=enxf(x),F(x)=n·enxf(x)+enxf(x)=enx[f(x)+nf(x)];结论:(1)出现f(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);(2)出现f(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.根据得出的结论去解决例4.

例4.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)-2f(x)0,f(0)=1,则不等式f(x)e2x的解集为.?思路点拨满足“f(x)-2f(x)0”形式,优先构造F(x)=,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.答案:{x|x0}函数f(x)满足f(x)-2f(x)0,则F(x)0,F(x)在R上为增函数.又因为f(0)=1,所以F(0)=1,

对点训练2已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),若f(x)满足:(x-1)[f(x)-f(x)]0,f(2-x)=f(x)·e2-2x,则下列判断一定正确的是()A.f(1)f(0) B.f(2)e2f(0)C.f(3)e3f(0) D.f(4)e4f(0)答案:C导函数f(x)满足(x-1)[f(x)-f(x)]0,则当x1