勾股定理常考几何模型专项训练(8大题型)(解析版)-初中数学.pdf

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勾股定理常考几何模型专项训练(8大题型)

题型一圆柱中的最短路径模型

题型二长方体中的最短路径模型

题型三将军饮马型最短路径问题

题型四勾股定理中的翻折模型(三角形)

题型五勾股定理中的翻折模型(长方形)

题型六勾股定理中的线段的平方和模型

题型七勾股定理中的最值问题

题型八勾股定理常考模型综合

知识点1、圆柱中的最短路径模型

条件:如图,圆柱的底面圆的周长是c厘米,高是h厘米,现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。

22

结论:彩带最短需要c+h厘米.

证明:如图所示:沿过A点和过B点的母线剪开,展成平面,连接AB,

根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是AB的长度,

222222

由勾股定理得,AB=BA+BB=h+c,则这条丝线的最短长度是c+h厘米,

注意:1)运用勾股定理计算最短路径时,按照展开-定点-连线-勾股定理的步骤进行计算;

2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

知识点2、长方体中的最短路径模型

1

条件:如图,一只蚂蚁从长是a,宽是b,高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,(其中:hab)。

222

结论:蚂蚁爬行的最短路程是a+b+h+2ab

证明:如图,当长方体的侧面按图甲展开时,AC=a+b;CF=h

2222222

则AF=AC+CF=a+b+h=a+b+h+2ab;



如图,当长方体的侧面按图乙展开时,AB=a;BF=h+b

2222222

则AF=AB+BF=a+h+b=a+b+h+2hb;



如图,当长方体的侧面按图丙展开时,AE=a+h;EF=b

2222222

则AF=AE+EF=h+a+b=a+b+h+2ah;



222222222

∵hab,∴ahbhab,故a+b+h+2aha+b+h+2bha+b+h+2ab

222

∴蚂蚁所行的最短路线长为a+b+h+2ab,

注意:1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论;

2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。

知识点3、将军饮马与空间最短路径模型

条件:如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为h厘米,底面周长为c厘米,在容器内壁离容器底

部a厘米的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿a厘米的点A处,

结论:蚂蚁吃到

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