人教版高中总复习一轮数学精品课件 第7章 立体几何 7.5 空间向量及其运算.ppt

7.5空间向量及其运算第七章

内容索引0102第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成

第一环节必备知识落实

【知识筛查】1.空间向量的相关概念(1)定义在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.

(2)特殊的空间向量

2.空间向量的线性运算(1)加法与减法运算

(2)数乘运算定义:实数λ与空间向量a的积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当λ0时,λa与向量a方向相同;当λ0时,λa与向量a方向相反;当λ=0时,λa=0;λa的长度是a的长度的|λ|倍,即|λa|=|λ||a|.(3)运算律(其中λ,μ∈R)①交换律:a+b=b+a;②结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a;③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.

3.空间向量的基本定理(1)共线向量定理①定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.

温馨提示1.定理中规定b≠0,这是因为:(1)在充分性中,当b=0,λ≠0时,也有a=λb=0,而零向量与任一向量共线,λ并不唯一;(2)在必要性中,当a≠0,b=0时,不存在实数λ,使a=λb.

(2)共面向量定理①定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.

4.空间向量的数量积运算(1)空间两向量的夹角②夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0,π].特别地,当θ=0时,两向量同向共线;当θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则a,b=0或π.

(2)空间两向量的数量积运算①定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cosa,b.特别地,零向量与任意向量的数量积为0.②运算律(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;a·b=b·a(交换律);a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).

(3)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件.()(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.()(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b?a·b=0.()(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).()××√××

2.已知x,y∈R,有下列说法:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4B①正确.②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb不成立.③正确.④中若点M,A,B共线,点P不在此直线上,则不成立.

A

4.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为.?

5.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.

第二环节关键能力形成

能力形成点1空间向量的线性运算例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:

解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本方法.解题时应结合已知和所求观察图形,灵活运用相关的运算法则和公式来表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.

对点训练1如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量

能力形成点2共线定理、共面定理的应用例2已知E,F,G,H分别是