模型10 加权逆等线最值模型（解析版）-中考数学解题大招复习讲义.pdf

模型介绍

【模型总结】

☑在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角

形构造出与kPA相等的线段(即kPAQC)，将QB+kPA”型问题转化为“QB+QC”

型将军饮马问题．当k1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情

况属于权为1的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问

题变为常见的将军饮马问题求解即可.

☑需要注意的是这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能

通过相似或全等三角形得到kPA的等线段．

【解题方法】

☑利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军

饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答案.

例题精讲

考点一:直角三角形中的加权逆等线模型

.

【例1】如图，已知BC⊥AB，BCAB3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB

延长线上，且CE2BD,则AE+2CD的最小值为多少？

解：作CF⊥CB，且使得CF6，连接EF

过点A做AG⊥CF，交FC延长线于点G

∵=2，

∴△FCE∽△CBD，EF2CD

∴AE+2CDAE+EF

当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EFAF

易知：四边形ABCG为正方形AG3,CG3

FG9在Rt△FAG中，由勾股定理得AF310

AE+2CD的最小值为310

变式训练

【变式1-1】.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC2，点D、E分别为线段AB和

BC上的动点，BE2AD，求AE2CD的最小值.

解：作BF⊥BC并且使得BF2，连接EF

2

∵2∴△BEF∽△ADC

2

22

∴EFCD∴AE+CDAE+EF

当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EFAF

反向延长BF，过点A作AH⊥BF于点H

在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF10

210

∴AE+CD的最小值为

。

【变式1-2】.如图,在Rt△ABC中,AC6,BC8,∠ACB90，点E、F分别是AB、

AE2CF1

BC边上的动点,且,求CE+AF的最小值.

2

解：过点A作AD⊥AB，并且使得AD12，连接DE，CD

过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥AD延长线与点G

∵2,∠DAE∠ACF

∴△DAE∽△ACF，DE2AF,CE+2AFCE+DE

当C、E、D三点共线时，取到最小值，此时CE+2AFCE+DECD

242484

由等面积法可得：CH四边形AGCH为矩形，AGCH，DGAD+AG

555

在Rt△CAH中由勾股定理得：AH18

5

18

CGAH

5

在Rt△DCG中，由勾股定理得：CD6205

111

CE+AF（CE+2AF）；CE+AF的最小值为3205

222

考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型

【例2】.如图，在正方形ABCD中，AB1，E、F分别为CB、DC上的动点，且BE2DF,

求DE+2AF的最小值.

解：如图，延长BA至点,使得A1;作点D