高中数学：第3节 二项式定理.pptx

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布INNOVATIVEDESIGN第3节二项式定理

考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层训练巩固提升

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1

知识梳理1.二项式定理

2.二项式系数的性质

3.各二项式系数和

常用结论

×诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×√√

C解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，

ADA.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.

A.5 B.10 C.15 D.20C∴x3y3的系数为10＋5＝15.

解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.1

所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.6.(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.510

KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2

考点一展开式中的通项问题240角度1求二项展开式的特定项

解析二项展开式的通项公式为

∵k∈N，∴r应为偶数，∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，

C角度2两个二项式之积、三项展开式问题A.15 B.20 C.30 D.35

(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60解析法一(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，C法二(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.

(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.感悟提升

训练1(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为() A.－3 B.－2 C.1 D.4B

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考点二二项式系数的和与各项系数的和问题解析依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.A角度1二项式系数和与系数和

(2)(多选)(2022·济南调研)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是()A.a0＝1B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1解析令x＝0，则a0＝15＝1，故A正确；令x＝1得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误；令x＝－1得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确；ACD

所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正确.

感悟提升

即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0.又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.角度2展开式的逆用B

根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.感悟提升

训练2(1)(2022·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为() A.29 B.210 C.211 D.212A

ACD

解析由题意，当x＝0时，a0＝12021＝1；当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021，

B

考点三二项式系数的最值问题D要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.

感悟提升

训练3(1)已知(3x－1)