2024中考数学几何模型归纳（全国）21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（教师版）.pdfVIP

21相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型

梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何

中的一个重要定理。

梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与△三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，

那么⋅⋅=1．这条直线叫△梅氏线，△梅氏三角形．

梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是△三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果⋅⋅

=1，则F、D、E三点共线．

图1图2

塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，

后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，

如图2，则⋅⋅=1。

注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是

三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线

段成比例和相似来解决。

例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在△，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于

点E，求证：:=2:．

AEDCBF

【解析】∵直线FEC是△ABD的梅氏线，∴1．

EDBCFA

DC1AE1BFAE2AF

而，∴1，即．

BC2ED2FAEDBF

【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．

△=⊥

例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在中，∠=90°，．AM为BC边上的中线，

于点D，CD的延长线交AB于点E．求．

△△⊥=2

【解析】∵HFC是的梅氏线，由题设，在中，，，

ADADAMAC2

由射影定理4．对△和截线EDC，由梅涅劳斯定理，

DMDMAMCM2

AEBCMDAE21AE

1，即1．∴2．

EBCMDAEB14EB

【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．