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求组合问题的不同算法比较分析

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摘要:本文主要介绍的递归法与回溯法的一般思想，并通过比较与分析用递归法与回溯法求解组合问题，以及比较它们对求解问题的复杂度以及它们优缺点。

论文关键词：递归法,回溯法,组合问题,算法比较分析

下面就以回溯法与递归法解决组合问题进行比较分析：

问题描述：找出从自然数1，2，…，m中任取k个数的所有组合。

1、用纯递归法求解

能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。

我们可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。

设函数为voidcomb(intm,intk)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去掉组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。

publicstaticvoidcomb(intm,intk)

{

inti=0,j=0;

for(i=m;i=k;i--)

{

a[k]=i;

if(k1)

{

comb(i-1,k-1);

}

else

{

for(j=a[0];j0;j--)

{

Console.Write(a[j].ToString()+);

}

Console.WriteLine();

}

}

2、用回溯法求解：

回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

(1)回溯法的方法

对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T，利用T的层次结构和D的完备性，在T中有哪些信誉好的足球投注网站问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为：

从T的根出发，按深度优先的策略，系统地有哪些信誉好的足球投注网站以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点，而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的有哪些信誉好的足球投注网站，以提高有哪些信誉好的足球投注网站效率。具体地说，当有哪些信誉好的足球投注网站按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时，即“激活”该状态结点，以便继续往深层有哪些信誉好的足球投注网站；否则跳过对以该状态结点为根的子树的有哪些信誉好的足球投注网站，而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯，一边“杀死”其儿子结点已被有哪些信誉好的足球投注网站遍的祖先结点，直到遇到其儿子结点未被有哪些信誉好的足球投注网站遍的祖先结点，即转向其未被有哪些信誉好的足球投注网站的一个儿子结点继续有哪些信誉好的足球投注网站。

在有哪些信誉好的足球投注网站过程中，只要所激活的状态结点又满足终结条件，那么它就是回答结点，应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时，一般要求出问题的所有解，因此在得到回答结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被有哪些信誉好的足球投注网站过为止。

(2)回溯法的一般流程和技术

在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程：

在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。

若采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：

(1)a[i+1]a[i]，后一个数字比前一个大；

(2)a[i]-i=n-r+1。

按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解