人教版八年级数学下册专题11勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（解析版）.docxVIP

专题11勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（解析版）

第一部分典例剖析

类型一方程思想

（1）单勾股列方程

1．（2022秋?泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）

思路引领：根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．

解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得：m2+702＝（m+10）2，

解得m＝240，

答：河宽240米．

总结提升：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

2．（2021春?全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长．

思路引领：根据勾股定理求出BC，设AB＝x，根据直角三角形的性质得到AC＝2x，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．

解：由题意得，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠DCB＝45°，∠ACB＝30°，

则DB＝DC＝3，

由勾股定理得，BC=CD2

设AB＝x，则AC＝2x，

由勾股定理得，AC2＝AB2+BC2，即（2x）2＝x2+（32）2，

解得，x=6

则AC＝2x＝26．

总结提升：本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．

3．（2022秋?运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程

思路引领：由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．

解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，

设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，

∵∠AOB＝90°，

∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，

又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，

∴62+（18﹣x）2＝x2，

解方程得出x＝10（cm）．

答：机器人行走的路程BC是10cm．

总结提升：本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．

双勾股方程

4．（2018秋?仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）．

（1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝；

（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝；

（3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值．

思路引领：（1）求出BC的长即可解决问题；

（2）如图4中，求出高BH即可解决问题；

（3）如图3中，作CD⊥AB于D，求出CD即可解决问题．

解：（1）如图2中，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC＝8，

∴h（BC）＝BC﹣AD＝8﹣6＝2．

故答案为2．

（2）如图4中，作BH⊥AC于H．

∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，

∴AC=62

∵12?AC?BH=12?AB

∴BH=24

∴h（AC）＝AC＝BH＝10-24

故答案为265

（3）如图3中，作CD⊥AB于D．设BD＝x，则AD＝21﹣x．

∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，

∴202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2，

解得x＝5，

∴CD=BC

∴h（AB）＝AB﹣CD＝21﹣12＝9．

总结提升：本题属于三角形综合题，考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

5．（2020秋?金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，

（1）求∠ECF的度数；

（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．

思路引领：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠BCF=12∠BCB，