北京卷压轴题-数论汇编 (1).docxVIP

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北京卷压轴题-数论汇编(1)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求；

(3)证明：存在，满足使得．

【答案】(1)，，，

(2)

(3)证明见详解

【分析】（1）先求，根据题意分析求解；

（2）根据题意题意分析可得，利用反证可得，在结合等差数列运算求解；

（3）讨论的大小，根据题意结合反证法分析证明.

【详解】（1）由题意可知：，

当时，则，故；

当时，则，故；

当时，则故；

当时，则，故；

综上所述：，，，.

（2）由题意可知：，且，

因为，且，则对任意恒成立，

所以，

又因为，则，即，

可得，

反证：假设满足的最小正整数为，

当时，则；当时，则，

则，

又因为，则，

假设不成立，故，

即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.

（3）因为均为正整数，则均为递增数列，

（ⅰ）若，则可取，满足使得；

（ⅱ）若，则，

构建，由题意可得：，且为整数，

反证，假设存在正整数，使得，

则，可得，

这与相矛盾，故对任意，均有.

①若存在正整数，使得，即，

可取，

满足，使得；

②若不存在正整数，使得，

因为，且，

所以必存在，使得，

即，可得，

可取，

满足，使得；

（ⅲ）若，

定义，则，

构建，由题意可得：，且为整数，

反证，假设存在正整数，使得，

则，可得，

这与相矛盾，故对任意，均有.

①若存在正整数，使得，即，

可取，

即满足，使得；

②若不存在正整数，使得，

因为，且，

所以必存在，使得，

即，可得，

可取，

满足，使得.

综上所述：存在使得．

2．设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法，

(1)证明：对任意的，则为含峰区间；若，则为含峰区间；

(2)对给定的，证明：存在，满足，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于；

(3)选取，由（1）可确定含峰区间为或，在所得的含峰区间内选取，由与或与2类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝地值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．

注：区间长度等于区间的右端点与左端点之差．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)，，.

【分析】（1）根据单峰区间的定义结合反证法证明即可；

（2）由（1）的结论可知：当时，含峰区间的长度为，当时，含峰区间的长度为，再根据题意列不等式组求解即可；

（3）由（1）可知，由题意可得在第一次确定有含峰区间的情况下，的取值应满足，再结合题意可求得结果.

【详解】（1）证明：设为的峰点，则由单峰函数的定义可知，在上单调递增，在上单调递减，

当时，假设，则，从而，

这与矛盾，所以，即为含峰区间，

当时，假设，则，从而，

这与矛盾，所以，即为含峰区间

（2）证明：由（1）的结论可知：当时，含峰区间的长度为，

当时，含峰区间的长度为，

则由题意可得①，

所以，即，

因为，

所以②，

将②代入①得，③，

由①和③得，，

所以这时含峰区间的长度，

即存在，满足，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于；

（3）解：对先选择的，由上可知④，

在第一次确定有含峰区间的情况下，的取值应满足⑤，

由④和⑤可得，

当时，含峰区间的长度为，

由，得，所以，

所以为了将含峰区间的长度缩短到，只要取，，.

【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的综合应用，考查分段函数性质的应用，考查新定义的理解和应用，解题的关键是准确理解新定义，结合题意求解证明，考查分析问题的能力和理解能力，属于难题.

3．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：

记，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．

(1)求和的值；

(2)设的斜率为，判断的大小关系；

(3)证明：．

【答案】(1)；

(2)；

(3)证明过程见解析.

【分析】（1）运用代入法进行求解即可；

（2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可；

（3）根据已知定义，结合放缩法进行证明即可.

【详解】（1），

；

（2），

因为，且，所以；

（3），

，

所以.

【点睛】关键点睛：根据不等式运用放缩法是解题的关键.

4．已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q