第3章 §3.4　函数中的构造问题　培优课--新高考数学新题型一轮复习课件.pdf

新高考数学新题型一轮复习课件

第三章

§3.4函数中的构造问题培优课

题型一导数型构造函数

命题点1利用f(x)与x构造

例1(2022·湘豫名校联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，

当x0时，f′(x)－0，若a＝2f(1)，b＝f(2)，c＝

，则a，b，c的大

小关系是

A.cbaB.cab

√

C.bacD.abc

思维升华

n

(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xf(x)；

(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.

跟踪训练1设f(x)为定义在R上的奇函数，f(－3)＝0.当x0时，xf′(x)＋

2f(x)0，其中f′(x)为f(x)的导函数，则使得f(x)0成立的x的取值范围是

A.(－∞，－3)∪(0,3)

B.(－3,0)∪(3，＋∞)

√

C.(－3,0)∪(0,3)

D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)

2

令g(x)＝xf(x)，x∈R，

2

当x0时，g′(x)＝xf′(x)＋2xf(x)

＝x[xf′(x)＋2f(x)]0，

即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为f(x)为R上的奇函数，

即f(－x)＝－f(x)，

2

于是得g(－x)＝(－x)f(－x)＝－g(x)，

则g(x)是奇函数，g(x)在(－∞，0)上单调递增，

又f(－3)＝0，

2

则g(3)＝－g(－3)＝－[(－3)f(－3)]＝0，

当x0时，f(x)0⇔g(x)0＝g(3)，得x3，

当x0时，f(x)0⇔g(x)0＝g(－3)，

得－3x0，

综上，得－3x0或x3，所以使f(x)0成立的x的取值范围是(－3,0)∪(3，

＋∞).

x

命题点2利用f(x)与e构造

例2(多选)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足

f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则

22

A.f(2)ef(0)B.f(2)ef(0)

√

22

C.ef(－1)f(1)D.ef(－1)f(1)

√

思维升华

nx

(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝ef(x)；

(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.

跟踪训练2若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)0，且f(0)＝1，则

(0，＋∞)

不等式f(x)的解集为__________.

构造F(x)＝f(x)·e2x，

∴F′(x)＝f′(x)·e2x＋f(x)·2e2x

＝e2x[f′(x)＋2f(x)]0，

∴F(x)在R上单调递增，

0

且F(0)＝f(0)·e＝1，

即F(x)F(0)，∴x0，

∴原不等式的解集为(0，＋∞).

命题点3利用f(x)与si