均值不等式在一题多解中的应用.docx

??

?

??

均值不等式在一题多解中的应用

?

??

?

?

?

?

?

?

?

???

?

?

?

?

?

摘要：均值不等式是高中数学考察的重要不等式之一，它是不等式证明和求最值的有力工具。应用均值不等式求最值时，要把握均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略了任何一个条件，就会导致解题失败。在使用均值不等式解题时需要根据题目的结构，合理的进行分拆、组合，使之变成可用基本不等式的形式，然后进行求解。

关键词：高中数学；均值不等式；基本不等式；基本思想

一、均值不等式的形式

设为个正数，则称为均值不对式,其中，，，，分别称为的调和平均数，几何平均数，算数平均数和平方和平均数，这四种平均数当且仅当时等号成立。在高中数学学习中，常见的均值不等式为（），当且仅当时’’”成立。在使用均值不等式时，当两个正数的积为定值时，可以求出它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求出它们的积的最小值，正所谓”积定和最小，和定积最大”。求最值时，一定要注意”一正，二定，三相等”等号成立的条件，下面给出一个典型例题进行分析。

?

均值不等式在一题多解中的应用

已知,求最小值？

解法一、考虑到，

当且仅当””时””成立，

，

当且仅当””（即）时，满足等号成立。

解法二、考虑到，利用均值不等式,当且仅当””时等号成立，,

当且仅当””时等号成立。

解法三、令，则

，当且仅当””时等号成立。

解法四、,

，当且仅当时等号成立；

,当且仅当””时等号成立。

解法五、，当且仅当取等号，

令,则，

，当且仅当””满足等式成立。

本文给出均值不等式在一题多解中的应用，在做关于均值不等式的题目时，具体如何进行合理变形，一定要注意观察式子的结构和特点，同时注意均值不等式使用的条件以此加深对均值不等式的理解和掌握。

参考文献：

[1]毕德毅,逯艳.均值不等式在一个问题解决中的应用[J].考试周刊,2012,(23):54.

?

-全文完-