人教版八年级数学下册专题25一次函数中数学思想方法（解析版）.docxVIP

专题25一次函数中数学思想方法（解析版）

类型一数形结合思想

1．（2022春?高邑县期中）如图是变量y与x之间的函数图象，则函数y的取值范围是（）

A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．0≤y≤3 D．1≤y≤3

思路引领：观察函数图象纵坐标的变化范围，然后得出答案即可．

解：根据函数图象给出的数据可得：自变量y的取值范围是0≤y≤3；

故选：C．

总结提升：本题考查了函数自变量的取值范围，熟记函数概念并准确识图是解题的关键．

2．（2022?博望区校级一模）函数y=ax(x-b)2的图象如图所示：其中a

A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0

思路引领：由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b的正负，由x＞0时的函数图象判断a的正负．

解：∵y=ax

∴x的取值范围是x≠b，

由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，

∴b＞0，

由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，

∴当x＞0时，y＜0，

又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，

∴a＜0，

故选：B．

总结提升：本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．

3．（2022?天津模拟）如图，直线y=-13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点

（1）求点A的坐标；

（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y=-13x+b交于点C，与直线y＝x交于点D．若

思路引领：（1）由点E的坐标确定b的值，求出直线AB的解析式即可解决问题；

（2）根据CD＝4列出方程，解方程即可解决问题．

解：（1）∵E为y＝x与y=-13x+b的交点，且点E的横坐标为

∴E（3，3），

∴3=-1

∴b＝4，

∴直线AB的解析式为y=-13x+4，当y＝0时，x＝

∴A（12，0）．

（2）由题意C（m，-13m+4），D（m，

∴CD=|

∵CD＝4，

∴|4

解得m＝6或m＝0．

∴m＝6或m＝0．

总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数的解析式，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题．

4．（2021?罗湖区校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、54cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x

（1）求出a值；

（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；

（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？

思路引领：（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；

（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．

（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．

解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，

则a秒时，点P在点AB上，则1

∴AP＝6

则a＝6

（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6

∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12-

（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，

592-54x-（

解得x＝10

当P、Q两点相遇后相距3cm时

（2x﹣6）﹣（592-

解得x=154

∴当x＝10或15413时，P、Q两点相距3

总结提升：本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．

类型二方程思想

5．（2021?海淀区校级模拟）定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．

（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是；

（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是；

（3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．

思路引领：（1）由题意可以写出一次函数y＝2x﹣b的交换函数；

（2）根据题意和（1）中的结果，可以求得当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标；

（3）根据题意和（1）、（2）的结果，可以计算出b的值．

解：（1）由题意可得，

一次函数y＝2x﹣b的交换函数是y﹣bx+2，

故答案为：y＝﹣bx+2；

（2）