人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-2-2第1课时等差数列的前n项和公式课件.ppt

【教用·备选题】某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思领悟应用等差数列解决实际问题的一般思路第1课时等差数列的前n项和公式第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式整体感知[学习目标]1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算)2．掌握等差数列的前n项和公式．(数学运算)3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个量求另外两个．(数学运算)4．构建等差数列求和模型，解决实际问题．(数学建模、数学运算)(教师用书)为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？[讨论交流]问题1．等差数列的前n项和公式是什么？问题2．如何推导等差数列的前n项和公式？问题3．求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1等差数列的前n项和公式探究问题1据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？[提示]对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5050.可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51这一特殊关系，这就是上一节我们学过的性质，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质是配对，将2n个数重新分组配对求和．探究问题2设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求其前n项和Sn?[新知生成]等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝_________Sn＝____________?反思领悟求等差数列的基本量的方法等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．[学以致用]1．(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，求该数列的前n项和．探究2利用等差数列前n项和公式判断等差数列【链接·教材例题】例7已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d.[典例讲评]2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．[解]当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5.经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列．[母题探究](变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．[解]∵Sn＝2n2－3n－1①，∴当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1②，①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5.[学以致用]2．已知一个数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r.(1)当r＝0时，求证：该数列{an}是等差数列；(2)若数列{an}是等差数列，求r满足的条件．[解](1)证明