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定积分的换元积分法例2计算定积分.解设x=t3,则dx=3t2dt,当t在[0,2]上变化时,x在[0,8]上变化,所以.定积分的换元积分法例3计算定积分.定积分的换元积分法例3计算定积分.解令x=sint,dx=costdt,当t=0时,x=0;时,x=1,且时,0?x?1,因此,.定积分的换元积分法例4计算定积分.定积分的换元积分法例4计算定积分.解设,则,.当x=0时,t=0;当x=ln5时,t=2.所以定积分的换元积分法例5设函数f(x)在区间[-a,a]上连续(a0),则(1)当f(x)为偶函数时,;(2)当f(x)为奇函数时,.定积分的换元积分法例5设函数f(x)在区间[-a,a]上连续(a0),则(1)当f(x)为偶函数时,;(2)当f(x)为奇函数时,.证(1)由定积分的可加性,有(22.2)对于等号右端的第一项,令x=-t,则dx=-dt.且当x=-a时,t=a;当x=0时,t=0.于是,.定积分的换元积分法证(1)由定积分的可加性,有(22.2)对于等号右端的第一项,令x=-t,则dx=-dt.且当x=-a时,t=a;当x=0时,t=0.于是,.所以,(22.2)式可化为.定积分的换元积分法证(1)由定积分的可加性,有(22.2)对于等号右端的第一项,令x=-t,则dx=-dt.且当x=-a时,t=a;当x=0时,t=0.于是,.所以,(22.2)式可化为.(2)证明类似于(1).定积分的换元积分法例5的结果可以作为定理使用.在计算对称区间上的定积分时,如果能判定被积函数的奇偶性,利用这一结果就可以化简计算过程.定积分的换元积分法例6计算定积分.定积分的换元积分法例6计算定积分.解由于在区间[-2,2]上为奇函数,在[-2,2]上为偶函数,所以定积分的分部积分法对应于不定积分的分部积分法,也有计算定积分的分部积分法.定
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