高等数学（第五版）课件 陈如邦 第三章 导数的应用.pptx

第三章导数的应用第一节微分中值定理与洛必达法则

微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质和函数在该区间的某一点的导数之间的关系。一微分中值定理

定理1（罗尔中值定理）?????

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?aABbOyxxC

注意：定理条件有一条不满足，则该结论不一定成立条件(1)不满足(不连续)：条件(2)不满足(不可导)：条件(3)不满足(端点值不相等)：???Oyx1Oyx1-1Oyx1

定理2（拉格朗日中值定理）?????拉格朗日中值公式

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???baOxxyAB??C?

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作为拉格朗日中值定理的应用?有如下推论????

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定理3（柯西中值定理）?????

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?二洛必达法则

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第二节函数的单调性与极值第三章导数的应用

在日常生活中，我们常常见到很多变化曲线图，如股票走势图，每日气温变化图等，可以很直观的观察股票或者温度的走势。但是对于很多函数来说，没有计算机软件很难画出函数的图像，那么如何来判断函数的变化趋势呢？

利用函数单调性的定义或函数的图像来判断函数的单调性是非常困难的,导数是一种有力的工具，本节我们介绍利用导数来判断函数单调性的方法．

yxOx1x2yxOx1x2??

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?O?x?y?y?x3???

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??x-+-

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f(x0)x0xyOx0xyOf(x0)?函数的极大值和极小值统称为函数的极值?使函数取得极值的点（极大值点和极小值点）统称为极值点．

?f(x1)xbx6x5x4x3?x2x1Oaf(x4)y从上图中我们还可以看到，在函数的极值点处?曲线的切线都是水平的，例如图中的点x1?x2?x3?x4等处．但曲线上有水平切线的地方?函数却不一定取得极值，例如图中的点x6处．

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??+-+

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第三节函数的最值第三章导数的应用

引例：甲乘汽车从河的北岸A处以1千米每分钟的速度向正北方向行驶，同时乙从河的对岸B以2千米每分钟向正东方向行驶，河宽0.5千米，且B点与A点正对岸的C点相距4千米，问何时两人相距最近？?ABC?

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?Ox?1y??

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第三章导数的应用第四节函数的凹凸性与拐点

一.函数的凹凸性在中学里，我们主要依靠描点作图画出一些简单函数的图形，一般来说，这样得到的图形比较粗糙，无法确切反映函数走向。也就是说函数是升的还是降的？是直线上升，还是曲线上升？可见，仅知道函数的单调区间是不够的，我们还必须知道曲线的凹凸.

yxOyxO?曲线上“凹”与“凸”的分界点称为曲线的拐点．?

注：拐点、驻点与极值点的区别在我们数学中，拐点、驻点与极值点是非常重要的概念，拐点是使函数二阶导数等于零的点，驻点是使函数一阶导数等于零的点，极值点所对于的导数的一阶导为零，但是要求其左边和右边函数的导数符号不同，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。

xy0????xy????0???

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?（2）可类比于第一问的证明方法证明.

??xy0

??y?O?x?y?x2?

?O?x?y?y?x3??

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+0---0+---0+++单调增加凸单调减少凸单调减少凹极小值0单调增加凹(4)列表分析如下?(5)作图如下：y??1?-10

第五节曲率第三章导数的应用

在现实生活中，许多问题都要考虑曲线的弯曲程度，如修建铁路时，铁路线的弯曲程度必须合适，否则容易造成火车出轨。数学上常用“曲率”这一概念来描述曲线的弯曲程度。

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