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立体几何中的综合问题

随着高考改革的不断深入，立体几何中的翻折、探究、动态等问

题备受命题者青睐.解决此类问题的关键是“以静制动”，将其转化为

平面几何问题，通过构造函数、基本不等式等方法加以解决.

目录CONTENTS23课时跟踪检测考点分类突破

PART1考点分类突破精选考点典例研析技法以重悟通课堂演练

【例1】如图，已知Rt△ABC和Rt△DBC，AB＝AC，BC＝2BD＝

2，A＝90°，D＝90°，将Rt△ABC翻折到△ABC的位置，使二面角A

-BC-D成30°角，E为边CD上的点，且CE＝2ED.翻折问题

（1）证明：BC⊥AE；?

（2）求直线AD与平面ABC所成角的正弦值.?

?

解题技法翻折问题的两个解题策略

如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，

把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若

BC＝4，求直线DE到平面PBC的距离.

解：如图，设DE的中点为O，BC的中点为F，连接

OP，OF，则OP⊥DE，因为平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE

＝DE，所以OP⊥平面BCDE.因为在△ABC中，点D，E分别为AC，AB边的中点，所以DE∥BC.因为DE?平面PBC，BC?平面PBC，所以DE∥平面PBC.又OF⊥DE，所以以点O为坐标原点，OE，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

?

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【例2】（2024·襄阳模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥

BC，PB⊥AC，点P在底面ABC上的射影为点H.探究性问题（1）证明：PC⊥AB；解：证明：因为点P在底面ABC上的射影为点H，所以PH⊥平面ABC，又AB，BC，CA?平面ABC，

所以PH⊥AB，PH⊥BC，PH⊥CA，因为PA⊥BC，PH⊥BC，PA∩PH＝P，PA，PH?平面

PAH，所以BC⊥平面PAH，又AH?平面PAH，所以BC⊥AH，同理AC⊥BH，所以点H

为△ABC的垂心，所以CH⊥AB，又PH⊥AB，CH∩PH＝

H，CH，PH?平面PCH，所以AB⊥平面PCH，又PC?平面PCH，所以PC⊥AB.

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所以平面PAB的一个法向量为n＝（0，－2，1），??

解题技法利用空间向量巧解探究性问题的策略（1）空间向量最适合于解决立体几何中的探究性问题，它无需进行

复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；（2）解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存

在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的

解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用

这一方法解题.提醒探究线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用.

?解：证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面

ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.

（2）设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，

B，C，D的距离都相等？说明理由.解：以A为坐标原点，建立如图所示的空

间直角坐标系A-xyz，在平面ABCD内，作CE

∥AB，交AD于点E，则CE⊥AD.在Rt△CDE中，CE＝DE＝CD·cos45°＝1.设AB＝AP＝t（0＜t＜3），则B（t，0，

0），P（0，0，t）.由AB＋AD＝4得AD＝4－t，

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动态问题考向1轨迹问题【例3】（1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的

中点，动点P在侧面BCC1B1上运动，若AP⊥D1M，则动点P的轨

迹为（）A.两个点B.线段C.圆的一部分D.抛物线的一部分

解析：如图，取B1B的