2023—2024学年北京市第一七一中学高二下学期期中数学试卷.docVIP

2023—2024学年北京市第一七一中学高二下学期期中数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.的展开式中的系数是（）

A．80

B．

C．160

D．

(★★)3.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是

A．在上为减函数

B．在处取得最大值

C．在上为减函数

D．在处取得最小值

(★)4.设随机变量的概率分布列为

1

2

3

4

则（）

A．

B．

C．

D．

(★)5.某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）

A．种

B．种

C．种

D．种

(★★)6.下列求导的运算中，正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.设，若，则展开式中系数最大的项是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)9.已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)10.定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

(★★)11.已知的展开式的二项式系数之和为16，则___________；各项系数之和为___________.(用数字作答)

(★)12.已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________.

(★★)13.已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________．

(★★)

14.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种.

(★★★★)15.已知函数，.给出下列四个结论：

①当时，函数有最小值；

②，使得函数在区间上单调递增；

③，使得函数没有最小值；

④，使得方程有两个根且两根之和小于.

其中所有正确结论的序号是___________.

三、解答题

(★★★)16.已知函数，若曲线在处的切线方程为.

(1)求，的值；

(2)求函数的单调区间和极值；

(3)求函数在上的最大值、最小值.

(★★★)17.如图，在长方体中，，．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求点到平面的距离．

(★★)18.某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：

牙膏品牌

销售价格

市场份额

（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；

（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．

①求的值；

②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望．

（3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）

(★★★)19.已知椭圆经过点，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值．

(★★★★)20.已知函数,其中．

(1)当时,求曲线在点处的切线方程;

(2)当时,判断的零点个数,并加以证明;

(3)当时,证明:存在实数m,使恒成立．

(★★★★)21.已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；

①；

②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．

(1)分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；

(2)若数列具有性质，求证：；

(3)若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．