方法数形结合法-2017高考数学理二轮复习讲练测版.pdfVIP

数形结合的思想在每年的高都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求

变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从近几年的高考题来看，数形结合

的重点是研究“以形助数”．预测2017年高，仍然会沿用以往题思路，借助各种函数的图象和方

程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，

会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要

用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．

【数形结合思想概述】

1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：

一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为，数作为目的，比如应用函数的图象来

直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为，形

作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现．有

时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注

意其带来的效应．

（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错．

（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范

围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．

3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点

（1）集合的运算及Venn图；

2）函数及其图象；

（

（3）数列通项及求和的函数特征及函数图象；

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；

（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；

（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关

键点），做好知识的迁移与综合运用．

4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇

特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下

几点：

（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；

（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首

先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个

函数的图象，由图求解；

（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理

论证．

【数形结合思想解决的问题类型】

一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；

3

x−3x,x≤a

例1.【2016年高考理数】设函数f(x)=.

xxa

−2,



①若a=0，则f(x)的最大值为______________；