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微积分的应用
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微积分的应用
1.(带皮亚诺型余项的)泰勒公式其应用
定理若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数,那么
f(x)≈f(0)+f′(0)x+x+…+x+R(x)
R(x)=0(x)
这就是函数f(x)在x=0点附近关于x的幂函数展开式,也叫泰勒公式,式中R(x)叫做皮亚余项.
下面举例说明带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用.
例1.求
解:由于cosx=1-++0(x)
e=1+(-)+(-)+0[(-)]=1-++0(x)
从而cosx-e=-+0(x)
于是===-
2.在微分方程中的应用
例2.设函数f(u)具有连续导数,而z=f(esiny)满足+=ez,求f(u).
分析:设z=f(u),u=esiny,用一个中间变量代替两个自变量.
解:设z=f(u),u=esiny,则=f′(u)=f′(u)esiny
=f″(u)esiny+f′(u)esiny,=f′(u)ecosy
=f″(u)ecosy-f′(u)esiny
+=f″(u)esiny+f″(u)ecosy=f″(u)e=ez
即得f″(u)-f(u)=0,这是关于未知函数f(u)的二阶常系数线性齐次微分方程.
特征方程:r-1=0,r=-1,r=1,通解为f(u)=ce+ce.
3.积分在几何中的应用
例3.求椭圆+=1所围成图形的面积.
解:因为椭圆关于两坐标轴都对称,所以椭圆面积应等于其第一象限面积的四倍.这样,椭圆面积A=4ydx=4dx=4bdx
用换元法,令x=asint,则dx=acostdt.且x=0时t=0;x=a时t=,从而
A=4abcostdt=4abcostdt
=2ab(1+cos2t)dt=2ab=πab
4.在经济中应用最大利润问题
例4.某公司投资2000万元,建成一条生产线,投产后,其追加成本和追加收入(分别是成本函数和收入函数对时间t的变化率,类似于边际函数概念)分别为G(t)=5+2t(百万元/年)Φ(x)=17-t(百万元/年).试确定该生产线使用多长时间停产可使公司获得最大利润?最大利润是多少?
解:容易看出,追加成本G(t)是单调增函数而追加收入Φ(x)是单调减函数,这说明生产费用在逐年增加,而生产收入在逐年减少,二者之差即为生产利润随时间的变化率:
G(t)-Φ(x)=17-t-5+2t=12-3t
与边际成本和边际收入的关系相同,这里生产利润的最大值在的必要条件也是G(t)=Φ(x).
解之得t=8,由于生产利润对时间的二阶导数=[Φ(x)-G(t)]′=-2t<0,因此上述t=8是生产利润的最大值点.这样,生产利润的最大值(单位:百万元)为
[Φ(x)-G(t)]dt-20=12-3tdt-12
=38.4-20=18.4百万元
即生产线应用在使用8年后停产,此时公司总利润为1840万元.
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