[全]中考数学二次函数压轴题之抛物线中的最值问题.pdfVIP

中考数学二次函数压轴题之抛物线中

的最值问题

如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），

直线y=1/2x+1交y轴于C，且过点D（6，m），左右平移抛物线y＝

x2﹣4x+3，记平移后的点A对应点为A，点B的对应点为B．

（1）求线段AB，CD的长；

（2）当抛物线平移到某个位置时，AD+BD最小，试确定此时抛物线的解析

式；

（3）平移抛物线是否存在某个位置，使四边形周长最小？若存在，求出此时抛

物线的解析式和四边形ABDC周长最小值；若不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3，

∵A（1，0）、B（3，0），

∴AB＝2，

直线y=1/2x+1，则点C（0，1）、D（6，4），

∴CD＝3√5；

（2）如图1，作D关于x轴对称点E，使得EG∥x轴，且EG＝AB＝AB

＝2，

图1

连接DG交x轴于B，连接AE，AD，

∵ABGE是平行四边形，

∴AE＝AD＝BG，

∴当D，B，G三点共线时，A′D+B′D＝B′D+B′G最小，

此时B（7，0），A（5，0），

则抛物线的解析式为：

y＝（x﹣5）（x﹣7）＝x2﹣12x+35；

（3）如图2，作D关于x轴对称点E，使得EF∥x轴，且EF＝AB＝AB

＝2，

图2

连接CF交x轴于A，连接BE，BD，

∵ABEF是平行四边形，

∴BE＝AF＝BD，

∴当C，A，F三点共线时，AC+BD＝AC+AF最小，

此时四边形ABDC周长最小，F（4，﹣4），

则直线CF的表达式为：y＝﹣5/4x+1，

∴点A′、B′的坐标分别为（4/5，0）、（14/5，0），

则抛物线解析式为：y＝x2﹣18/5x+56/25，

最小周长＝CF+AB+CD=√41+2+3√5．

【分析】

（1）结合一次函数与二次函数的解析式先把A、B、C、D四点的坐标求出来。

图3

线段CD的长度求法：

①求出点C、D两点的坐标后，用两点之间的距离公式；

②作辅助线，用勾股定理在直角三角形CDD中，可求出CD的长。

（2）线段AD+BD最小，先分析这三个点的性质：

AB=2，D是一个定点，A、B是两个动点，一定两动点。

在线段的几何最值问题中（详见最短路径12个模型）想到“化曲线为直线”，

作定点D的对称点，通过平行四边形转化，AD+BD=AE+BD=BG+

BD=DG。

（3）四边形ABDC周长最小值，先把周长表示出来CA+AB+DB+

CD：

由（1）可知AB=AB=2,CD=3√5，关键如何求CA+DB，结合（2）

中的思路，通过平行四边形转化，CA+DB=CA+EB=CA+