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运用基本不等式解决最值问题例析2011/12/6

最值问题是高考的热点问题之一,贯穿于高中数学的各个模块,最

值问题又是进一步学习高等数学最值问题的基础。利用基本不等式求

最值是最常见且应用十分广泛的方法,但许多最值问题不能直接的套

用公式求解,必须进行合理的拆添项或配凑因式,创造应用基本不等式

的条件才能套用。

基本不等式及常见变形

1.基本不等式

+≥2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号)

a+b≥2(a,b∈,当且仅当a=b时取等号)

2.常见变形

⑴ab≤⑵ab≤⑶≤或

a+b≤+

3.最值定理

设xoy0,由x+y≥2得：

⑴若积xy=p(定值)，则当x=y时，和x+y有最小值2;

⑵若和x+y=s(定值),则当x=y时，积xy有最大值；

注：均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”

转化为“和式”的放缩功能；均值不等式及推论主要用于求函

数的最值和证明不等式，解题时往往需要：一是创设一个应用

均值不等式的情境，二是使等号成立条件；在利用均值不等式

求最值时，一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件。

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二解题示范

例1设0x4求y=x(4-x)最大值？

分析：∵x与4-x均为正数且x+(4-x)=4为定值，∴由

最值定理（2）求之。

解：y=x(4-x)≤=4

当且仅当x=4-x即x=2时取等号

∴当x=2时函数y=x(4-x)最大值为4

变式⑴设0x则y=x(3-2x)最大值为多少？

解(略)

变式⑵设a0b0且a+2b=3,求ab的最大值？

解(略)

解题反思：例1与两变式都是利用ab≤求积的最大值，但

两因式和不定时需配凑一个系数使两因式和为定值；这组题也可转化

为二次函数求最值问题。

变式⑶设x0y0且+=1,求x+最大值？

分析：已知+=1为定值，但x与+之和，平方和都不是定

值故需进行系数配凑，再利用ab≤求解。即

x+=≤

解(略)

解题反思：平方和为定值时用ab≤求最大值，和为定值

时用ab≤求最大值。

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例2设x0求y=x+最小值？

分析：x与均为正数且之积定值，利用最值定理⑴可求得当x=3

时y=x+取得最小值6

解(略)

变式⑷设x5求y=x+的最小值？

变式⑸设x-1求函数y=最小值？

解题反思：分式函数y=求最值时，常对分子进行变量分离转

化为y=ax+型