2023—2024学年山东省青岛市即墨区高一下学期期末教学质量检测数学试卷.docVIP

2023—2024学年山东省青岛市即墨区高一下学期期末教学质量检测数学试卷

一、单选题

(★★★)1.若，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.已知，，若，则（）

A．

B．1

C．

D．4

(★★)3.某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（）

A．1000

B．900

C．800

D．700

(★★★)4.如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（）

A．数据中可能存在极端大的值

B．这组数据是不对称的

C．数据中众数一定不等于中位数

D．数据的平均数大于中位数

(★★)5.已知直线与平面，能使的充分条件是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（）

A．的最小正周期为

B．的图象关于对称

C．是的一个零点

D．是的一个单调减区间

(★★★)7.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.函数的图象如图所示，则的值为（）

A．1

B．0

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.已知为虚数单位，复数，则（）

A．

B．的虚部为

C．

D．在复平面内对应的点在第一象限

(★★)10.已知向量，满足，，则下列说法正确的是（）

A．若则

B．最大值为3

C．若，则

D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为

(★★★)11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（）

A．该几何体的体积为

B．直线与平面所成角的正切值为

C．异面直线与的夹角余弦值为

D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上

三、填空题

(★)12.一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则______；

(★★)13.从四棱锥的八条棱中随机选取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是______.

(★★★★)14.已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比______．

四、解答题

(★★★★)15.在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，.

(1)若，，，求与的夹角.

(2)若

①与夹角余弦值；

②判断四边形的形状，并说明理由.

(★★★)16.某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．

(1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？

(2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）

(3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．

(★★★)17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)求四棱锥的体积.

(★★★)18.记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线．

(1)求；

(2)求；

(3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值．

(★★★★)19.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”

(1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由；

(2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围；

(3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围．