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2011年华约试题解析
一、选择题
15
(1)设复数z满足|z|1且|z+|=则|z|=()
z2
4321
ABCD
5432
1525
解：由|z+|=得|z|+1=|z|，已经转化为一个实数的方程。解得|z|=2（舍
z22
1
去），。
2
(2)在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角
的正切为2。则异面直线DM与AN所成角的余弦为()
1111
ABCD
36812
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用
这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧
面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，
一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为
2。如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，
112112312132
2)，则M(,−,),N(,,)，DM=(,−,),AN=(−,,)。设所
222222222222
DMAN1
成的角为θ，则cosθ==。
DMAN6
解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为
2。平移DM与AN在一起。即M移到N，D移到CD的中点Q。于是QN=DM=AN。
而PA=PB=AB=2，所以QN=AN=3，而AQ=5，容易算出等腰ΔAQN的顶角
1
cos∠ANQ=。
6
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