重积分的应用 (2).ppt

*于是,力F在三个坐标轴上的投影分别为其中k为引力系数，第32页,共34页，星期六，2024年，5月*例8设球体V具有均匀的密度试求V对球外一点A的引力(引力系数为k).显然有解设球体为球外一点A的坐标为所以第33页,共34页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第34页,共34页，星期六，2024年，5月关于重积分的应用(2)**一、曲面的面积设D为可求面积的平面有界区域,在D上具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程所表示的曲面S的面积.(1)对区域D作分割T，把D分成n个小区域.这个分割相应地将曲面S也分成n个小曲面片(2)在每个上任取一点,作曲面在这一点的切第2页,共34页，星期六，2024年，5月*近用切平面代替小曲面片从而当充分小时,有,并在上取出一小块,使得与在平面这里分别平面上的投影都是(见图21-38).在点附第3页,共34页，星期六，2024年，5月*(3)当时,定义和式的极限(若存在)现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的计算公式.为此首先计算的面积.由于切平面的法向量就是曲面S在点处的法向量n,记它与z作为的面积.的面积.表示轴的夹角为则第4页,共34页，星期六，2024年，5月*注意到和数是连续函数在有界闭域D第5页,共34页，星期六，2024年，5月*上的积分和,于是当时,上式左边趋于而右边趋于这就得或另一形式:到曲面S的面积计算公式:第6页,共34页，星期六，2024年，5月*解据曲面面积公式,其中D是曲面方程例1求圆锥在圆柱体内那一部分的面积.故是第7页,共34页，星期六，2024年，5月*表示，其中在D上具有连续的一阶偏导数,且若空间曲面S由参数方程参数曲面的面积公式第8页,共34页，星期六，2024年，5月*则曲面S在点的法线方向为记与轴夹角的余弦则为第9页,共34页，星期六，2024年，5月*其中当时,对公式(2)作变换:第10页,共34页，星期六，2024年，5月*则有由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：第11页,共34页，星期六，2024年，5月*例2求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积（图21-39中阴影部分).解设球面的参数方程为:其中R是球面半径.这里是求当时球面上的面积.由于第12页,共34页，星期六，2024年，5月*所以由公式(5)即得所求曲面的面积:注在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度第13页,共34页，星期六，2024年，5月*地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积呢?施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程（如菲赫金哥尔茨《微积分学教程》中译本第三卷第二分册).的面积公式，下面用二重积分给予严格证明.*例3设平面光滑曲线的方程为的极限来定义(当各段的长趋于零时),但能否类似在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面第14页,共34页，星期六，2024年，5月*求证此曲线绕轴旋转一周得到的旋转面的面积为证由于上半旋转面的方程为因此第15页,共34页，星期六，2024年，5月*不妨设则第16页,共34页，星期六，2024年，5月*二、重心设密度函数为的空间物体V，在V上连续.为求得V的重心坐标,先对V作分割T,是小块的质量可用近似代替,若把每一块看作质量集中在的质点时,整个物体就可用这n个质点的质点系来近似代替.由于质点系的重心坐标公式为在属于T