空间直角坐标系的构建策略.pptx

空间直角坐标系的构建策略

坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方

法，运用坐标法解题就需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的

空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结

构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建

系，下面就几种常见的建系方法予以说明.

建系方法类型1利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系【例1】（2023·新高考Ⅰ卷18题）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1

D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，

CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.

?反思感悟由题意知，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，三条棱CD，

CB，CC1两两互相垂直且交于一点C，可考虑以点C为原点，三条棱

所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，此为根据题目中现有的条

件，直接建立空间直角坐标系.

类型2利用线面垂直关系构建空间直角坐标系【例2】（2021·全国乙卷18题）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩

形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.

建系方法因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，

AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系.反思感悟由条件中的垂直关系PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩

形，进而得PD，AD，DC两两垂直且共点于D，可建立空间直角坐

标系，此为通过先证明题目中建系的条件，再建立空间直角坐标系.

类型3利用面面垂直关系构建空间直角坐标系【例3】（2021·新高考Ⅰ卷20题）如图，在三棱锥A-BCD中，平面

ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2

EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

建系方法由题意知AO⊥平面BCD，显然AO⊥OB.以O为坐标原点，OB，

OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直

的直线为y轴建立空间直角坐标系.

反思感悟由已知条件平面ABD⊥平面BCD，结合其他已知证得AO⊥平面

BCD，选取OB，OA所在的直线分别为x，z轴后，y轴就可由以下

三个限制条件确定：①必须在平面BCD内且过点O；②必须垂直于

OB；③方向必须符合右手直角坐标系.

类型4利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系【例4】已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底

面边长为2a，高为h，若BE⊥VC，则∠DEB的余弦值为?.建系方法如图所示，以V在底面ABCD内的投影O为坐标原点建立空间直角坐

标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.

反思感悟解决有关正棱锥的题目时，一般要利用正棱锥的底面中心与正棱

锥的高所在的直线构建空间直角坐标系.

类型5利用底面正三角形构建空间直角坐标系【例5】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，

Q分别为A1B1，BC的中点.（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.

?

底面为正三角形的几何体建系时，一般将正三角形底边中线和与

底边中线垂直的直线作为建立的空间直角坐标系的x轴，y轴，再结

合其他条件确定z轴.反思感悟

类型6不规则图形的建系【例6】（2023·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥A-BCD中，DA＝

DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.?

?

又AE⊥BC，BC?平面BCD，DE?平面BCD，BC∩