求值、证明、探索性问题-高考数学复习课件.pptx

求值、证明、探索性问题

题型一求值问题

[规范解答]解(1)当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形，①当点A，点B和点C中有两个点为上顶点和下顶点，一个为左顶点或右顶点时，②当点A，点B和点C中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点时，

①当直线BC的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝－y2，因为p＋x1＋x2＝0，则A(－2x1，0).

当直线BC的斜率存在时，因为点A在椭圆E上，

由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.

题型二证明问题例2(2024·长沙调研)如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于M，N两点(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；解设圆C的半径为r(r0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r).

解得y＝1或y＝4，即点M(0，1)，N(0，4).①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.

所以∠ANM＝∠BNM.综合①②知∠ANM＝∠BNM.

感悟提升圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明.

题型三探索性问题

(2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由.解不存在.理由：假设存在圆F1满足题意，当圆F1过原点O时，直线PN与y轴重合，直线PM的斜率为0，不合题意.依题意不妨设PM：y＝k1x＋2(k1≠0)，PN：y＝k2x＋2(k2≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆F1的半径为r，

感悟提升此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.

训练3(2024·西安质检)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；解由题意得，因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，

(2)不过点M的直线l与抛物线相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由.解由(1)得M(2，1)，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2，9)，又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2，9)，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，

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(2)过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当|MN|＝2时，求k的值.解由题可知直线BC的方程为y－1＝k(x＋2).设B(x1，y1)，C(x2，y2).消去y整理得(4k2＋1)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，则由Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋1)(16k2＋16k)0，得k0，

解设M(x，y)，

(2)已知点F(1，0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

即∠MFD＝2∠NFD，所以存在λ＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.

(2)设双曲线C的左顶点为A，直线l2平行于l1，且交双曲线C于M，N两点，求证：△AMN的垂心在双曲线C上.

所以MH⊥AN.又因为AH⊥MN，所以H为△AMN的垂心.因为H在双曲线C上，所以△AMN的垂心在双曲线C上.

解设点P的坐标为(x，y)，

证明不妨设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|).则Δ＝(－k)2－4(kt－t2)＝(k－2t)20，所以k≠2t.设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，