专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题（原卷版）-中考数学解题大招复习讲义.pdf

模型介绍

一、如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角

形．

【几何法】“两圆一线”得坐标

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有ABAC；

（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BABC；

（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CACB．

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

同理可求，下求．

C、CC

345

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标

为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

而对于本题的，或许代数法更好用一些．

C

5

【代数法】表示线段构相等

（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），

C

5

（2）表示线段：22，22

ACm101BCm403

55

（3）分类讨论：根据，可得：2222，

ACBCm11m43

55

2323

（4）求解得答案：解得：m，故坐标为．

C5,0

66

小结

几何法：（1）“两圆一线”作出点；

（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、

BC；

（3）根据题意要求取①ABAC、②ABBC、③ACBC；（4）列出方程求解．

问题总结：

（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；

（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；

（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x

轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．

【几何法】两线一圆得坐标

（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角

为直角）

C、CC

重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：

122

【构造三垂直】

C、CC

求法相同，以为例：

343

构造三垂直步骤：

第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．

例题精讲

考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题

2

【例1